三角函數(shù)快樂導學

■王佩其

現(xiàn)實中的許多運動變化都有著循環(huán)反復、周而復始的現(xiàn)象,這種變化規(guī)律稱為周期性,三角函數(shù)就是刻畫這種變化規(guī)律的數(shù)學模型。下面就讓我們一起來領略三角函數(shù)的魅力吧!

知識點1:同角三角函數(shù)的關系與誘導公式

同角三角函數(shù)的基本關系主要有:sin2α+cos2α=1(平方關系),=tanα(商關系,其中α≠kπ+,k∈Z)。誘導公式的變換規(guī)律可概括為“奇變偶不變,符號看象限”。同角三角函數(shù)的關系與誘導公式主要應用于三角函數(shù)的求值、化簡、證明和三角恒等變換。

評注:化簡三角函數(shù)式的一般要求:項數(shù)最少,函數(shù)的種類盡可能少;次數(shù)盡量低,盡可能使分母或根號內不含三角函數(shù);能求值的求出其值。

知識點2:三角函數(shù)的圖像與性質

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像分別稱為正弦線、余弦線和正切線。通過三角函數(shù)的圖像,很容易得到其定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性和對稱性。利用這些性質,可以求與三角函數(shù)有關的復合函數(shù)的周期、單調性、值域和最值等。利用單調性,還能比較函數(shù)值的大小。

評注:形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω＞0)的最小正周期T=,它們的單調區(qū)間可利用基本函數(shù)y=sinx(x∈R)和y=cosx(x∈R)對應的單調區(qū)間列不等式求解得到。

知識點3:三角函數(shù)圖像的平移變換與伸縮變換

由y=sinx的圖像變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的圖像的兩種方法是先平移后伸縮和先伸縮后平移。根據(jù)三角函數(shù)的圖像,也可求出三角函數(shù)的解析式,求解析式的一般方法是待定系數(shù)法,即利用圖像上已知點的坐標,求出A,ω,φ,b,進而得出三角函數(shù)的解析式。

評注:求解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的實際應用問題時,要充分利用三角函數(shù)的基本性質,還要特別注意整體代換思想的運用。

知識點4:三角函數(shù)模型的簡單應用

數(shù)學模型就是先把實際問題用數(shù)學語言抽象概括,再從數(shù)學的角度來反映或近似地反映實際問題,從而得出關于實際問題的數(shù)學描述。

建立數(shù)學模型解決實際問題的一般步驟:①審題:認真閱讀題意,審清題目條件,理解數(shù)量關系。②建模:分析題目變化趨勢,選擇適當函數(shù)模型。③求解:對所建立的數(shù)學模型進行分析研究,得到數(shù)學結論。④還原:把數(shù)學結論還原為對實際問題的解答。

例 4 如圖1所示,某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y=Asinωx(A＞0,ω＞0),x∈[0,4]的圖像,且圖像的最高點為S(3,2),賽道的后一部分為折線段MNP。為保證參賽運動員的安全,限定∠MNP=120°。求A,ω的值及M,P兩點間的距離。

圖1

評注:本題屬于實際問題中的三角函數(shù)模型,在分析、整理已知信息的基礎上,用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式。解題過程中,一方面要注意利用周期性及題中的條件,另一方面還要注意所求問題的實際意義。