品味三角函數(shù)的創(chuàng)新問題

■鄭 欣

三角函數(shù)自身的交匯以及與其他知識(shí)的交匯已成為高考的熱點(diǎn)問題,本文聚焦之。

創(chuàng)新1:三角函數(shù)的定義與直線斜率的交匯

解:利用直線與圓相交的圓心角確定點(diǎn)到直線的距離,求出直線斜率,再利用三角函數(shù)的定義和同角關(guān)系求解。

品味:借助三角函數(shù)的定義和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,將三角函數(shù)與直線和圓相交問題有機(jī)地交匯是本題的一大特點(diǎn),其中斜率和傾斜角是溝通關(guān)系的橋梁。

變式訓(xùn)練1:若直線x+y-2=0與直線x-y=0的交點(diǎn)P在角α的終邊上,則tanα的值為____。

提示:由x+y-2=0和x-y=0,解得交點(diǎn)P(1 ,1 ,),所以tanα==1。

創(chuàng)新2:三角函數(shù)圖像與最值的交匯

例 2 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均為正的常數(shù))的最小正周期為π,當(dāng)x=π時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,則下列結(jié)論正確的是( )。

A.f(2)＜f(-2)＜f(0)

B.f(0)＜f(2)＜f(-2)

C.f(-2)＜f(0)＜f(2)

D.f(2)＜f(0)＜f(-2)

要比較f(2),f(-2),f(0)的大小,只需判斷橫坐標(biāo)為2,-2,0與最近的最高點(diǎn)處對(duì)稱軸的距離大小。易知0,2與比較近,-2與-0.6,所以f2()＜f-2()＜f0()。應(yīng)選A。

品味:求三角函數(shù)解析式中的參數(shù)的一般步驟:通過周期確定ω;通過最值或?qū)ΨQ中心確定初相φ;通過最值確定A。三角函數(shù)的比較大小問題,需要通過圖像來判斷,本題代入函數(shù)值不方便,根據(jù)函數(shù)值在圖像中的具體位置進(jìn)行判斷,凸顯圖像的應(yīng)用價(jià)值。

創(chuàng)新3:三角函數(shù)的有界性與最值的交匯

解法1:利用正弦函數(shù)的有界性,構(gòu)建不等式求出最值。

解法2:分式類函數(shù)可化為部分分式,利用正弦函數(shù)的有界性求最值。

當(dāng)sinx=-1時(shí),得ymin=-1;當(dāng)

故yminmax=-1,y=

創(chuàng)新4:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例 4 已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)-1(ω＞0,|φ|＜π)的一個(gè)零點(diǎn)是x=,其圖像上一條對(duì)稱軸方程為x=-,則當(dāng)ω取最小值時(shí),下列說法正確的是____。(填寫所有正確說法的序號(hào))

解:由零點(diǎn)和對(duì)稱軸及ω＞0,|φ|＜π確定函數(shù)的解析式,依據(jù)y=Asin(ωx+φ)+B的圖像與性質(zhì)逐一驗(yàn)證。

品味:關(guān)于y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的多項(xiàng)選擇問題,可先求出解析式,再利用正弦和余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集或?qū)ΨQ軸或?qū)ΨQ中心進(jìn)行判斷。本題的解答過程凸顯三角函數(shù)中“整體變量觀念”的應(yīng)用。

創(chuàng)新5:三角函數(shù)的性質(zhì)與求值的交匯

A.4030 B.4032

C.4033 D.4035

解:由正弦函數(shù)的周期定義可得此函數(shù)的周期為4,可知一個(gè)周期內(nèi)的4個(gè)函數(shù)值的和

品味:巧用三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性是解答本題的關(guān)鍵。

變式訓(xùn)練5:(1)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+b的部分圖像如圖1所示,則f(1)+f(2)+…+f(2012)的值為 。

圖1

創(chuàng)新6:三角函數(shù)與二次函數(shù)的交匯

例6 函數(shù)f(x)=sin2x+的最大值是____,最小值是____。

解:利用三角函數(shù)的平方關(guān)系,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題求解。

品味:形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函數(shù)最值問題,可先設(shè)t=sinx±cosx,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)問題求最值,但要注意新元的取值范圍,即新函數(shù)的定義域。

變式訓(xùn)練6:(1)函數(shù)y=cos2x-sin2x+2sinx的最大值為 。

提示:(1)令t=sinx,則-1≤t≤1。由于y=cos2x-sin2x+2sinx=-2sin2x+所以當(dāng)t=時(shí),函數(shù)y=cos2x-sin2x+2sinx取得最大值,其最大值為

創(chuàng)新7:三角函數(shù)的圖像與方程的根的交匯

解:作出已知分段函數(shù)的圖像(如圖2),借助圖像及函數(shù)值相等,利用三角函數(shù)的對(duì)稱軸可簡化求解。

圖2

因?yàn)閒(a)=f(b)=f(c),所以a+b=π,c∈ (π,2017π),可得a+b+c=π+c∈(2π,2018π)。

品味:本題的解題過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法與“化難為簡”方法的具體應(yīng)用。

圖3

創(chuàng)新8:三角函數(shù)與不等式的交匯

例 8 將函數(shù)y=sinx的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再將所得的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)f(x)的圖像。

(1)寫出函數(shù)f(x)的解析式。

解:(1)注意圖像的變換過程,依據(jù)題設(shè)得y=sinx→y=sin2x→y=sin(2x +)為所求的函數(shù)解析式。

(2)通過換元,把所求問題轉(zhuǎn)化為二次不等式在區(qū)間上的恒成立問題求解。

設(shè)函數(shù)g(t)=t2-mt-1,t∈[0,1],則g(t)的圖像是開口向上的一段拋物線。要使g(t)≤0恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)可得m≥0,所以m的取值范圍是0,+∞[)。

品味:本題也可以利用分離參數(shù)法求解:t2-mt-1≤0,t∈[0,1],當(dāng)t=0時(shí)不等式恒成立;當(dāng)t∈(0,1]時(shí),m≥t-,令g(t)=t-,則g(t)在 (0,1]上是增函數(shù),可得g(t)≤g(1)=1-1=0,即得m≥0。

創(chuàng)新9:三角函數(shù)與幾何概型的交匯

品味:借助圖像的平移和誘導(dǎo)公式化簡解析式,構(gòu)建區(qū)間長度為測(cè)度,利用三角不等式求區(qū)間內(nèi)的概率,使得三角函數(shù)與幾何概型有機(jī)地交匯,體現(xiàn)了命題創(chuàng)新的特點(diǎn)。

創(chuàng)新10:三角函數(shù)與新定義的交匯

解:理解新定義的意義,其實(shí)質(zhì)就是求正、余弦函數(shù)中的函數(shù)值較大的函數(shù)。注意它們的周期都為2π的特征,只需研究在[0 ,2 π]上正、余弦函數(shù)中的函數(shù)值較大的函數(shù)(圖像),可利用函數(shù)圖像求最小值。

圖4

品味:三角函數(shù)與新定義問題的交匯屬于高考的新穎命題,近幾年高考已逐步淡化了對(duì)復(fù)雜三角變換和特殊技巧變換的考查,而重點(diǎn)轉(zhuǎn)移對(duì)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查,因此應(yīng)引起同學(xué)們的重視。