求三角函數的單調區間易錯點剖析

■華騰飛

在求三角函數的單調區間時,由于對概念和法則理解不清、把握不準,常常會導致錯解的發生。下面舉例分類剖析,希望能引起同學們的注意,以避免此類錯誤的發生。

一、忽視基本函數致錯

剖析:要參照基本函數y=sinx,就必須把自變量x的系數化為正數,這是因為曲線y=sin(-3x)已由曲線y=sinx經過了沿x軸的翻折變換。

注意:上述兩種解法的結果看似不同,這只不過是形式不同而已,其實質上是相同的。

二、忽視函數的定義域致錯

錯解:因為對數函數y=lgz是單調遞增函數,所以只需求出z=sin(3x -)的單調遞增區間即可。

剖析:求復合函數的單調區間時,不能忽視函數的定義域。

三、忽視復合函數的單調區間致錯

四、忽視題設條件致錯

剖析:由題意可知,只需求出區間(-2π,2π)內的遞增區間即可。

五、忽視參數的取值符號致錯

例5 討論函數y=acosx+b的單調區間。

錯解:當函數y=cosx單調遞增,即x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)時,所求函數單調遞增;

當函數y=cosx單調遞減,即x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)時,所求函數單調遞減。

剖析:對含參數問題,若參數的取值符號不確定,則必須對參數進行討論。上述解法是由于想當然地認為a＞0導致錯解的。

正解:當a=0時,y=b為常函數,這時沒有單調區間;

當a＞0時,所求函數的遞增區間為[2kπ-π,2kπ](k∈Z),遞減區間為[2kπ,2kπ+π](k∈Z);

當a＜0時,所求函數的遞增區間為[2kπ,2kπ+π](k∈Z),遞減區間為[2kπ-π,2kπ](k∈Z)。