例析三角函數的周期、最值和值域問題

■張志勇

三角函數是高中數學的重要內容之一,是歷年高考的必考知識點,其中三角函數的周期、最值和值域是高考的必考內容。解決這類問題,不僅需要用到三角函數的定義域、值域、單調性、圖像及三角函數的恒等變形,而且還會涉及函數、不等式、方程等知識。下面主要討論三角函數的周期、最值和值域問題,希望能引起大家的重視。

一、求解三角函數的周期問題

三角函數的周期是三角函數的重要性質,求三角函數的周期,一般是先化目標函數為一種函數的形式,再借助常見三角函數的周期來求解。

例1 函數f(x)=5-4sin2x+4sin4x的最小正周期是____。

解:通過誘導公式將原函數化簡。

二、求解三角函數的最值問題

求三角函數最值的主要途徑:一是利用三角函數的有界性;二是利用二次函數的單調性等。

例2 求函數y=(sin2x+1)(cos2x+3)的最大值。

解:可轉化為二次函數求最大值。

令sin2x=t,則0≤t≤1,cos2x=1-t。所以原函數可等價轉化為y=(t+1)(1-t+

因為0≤t≤1,所以當t=1即sin2x=1時,

三、求解三角函數的值域問題

求三角函數的值域的常用方法有配方法、基本不等式法、判別式法、圖像法等。

例3 已知函數f(x)=2sin2x+sin2x,x∈[0,2π],求使f(x)為正值的x的集合。

解:先利用誘導公式將原函數化簡,再求解。

解:對無理式函數求值域,不能利用其單調性進行判斷,可考慮用三角換元法去根號求解。