三角函數的圖像和性質問題歸類解析

■杜紅全

三角函數是高中數學的主干知識,也是高考重點考查的內容之一,而三角函數的圖像和性質更是高考考查的熱點,題型既有選擇題、填空題,又有解答題。下面就近幾年的高考題中考查三角函數的圖像和性質的有關問題進行歸類解析,以幫助大家更好地學習及掌握這一知識。

一、考查三角函數的最值

評析:解答本題的關鍵是先把原函數化為關于cosx的二次函數,再用配方法求解。

二、考查三角函數的奇偶性

例 2 將函數y=sin(2x+φ)的圖像沿x軸向左平移個單位長度后,得到一個偶函數的圖像,則φ的一個可能取值為( )。

評析:解答本題的關鍵是利用偶函數列出方程求解的。

三、考查三角函數的周期性

評析:題中曲線y=f(x)與直線y=1的相鄰交點距離的最小值為的轉化是解題

四、考查三角函數的單調性

例 4 已知函數f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖像如圖1所示,則f(x)的單調遞減區間為( )。

圖1

評析:解答本題的關鍵是根據函數的圖像求出最小正周期,其難點是求φ的值。

五、考查三角函數的圖像變換

例5 已知曲線C1:y=cosx,C2:y=sin(2x +2),則下列結論正確的是( )。

A.先把曲線C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2

B.先把曲線C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2

C.先把曲線C1上各點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2

D.先把曲線C1上各點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2

評析:三角函數的圖像變換都是同名三角函數圖像之間的變換,無論是先平移后伸縮,還是先伸縮后平移,都是針對自變量x而言的。