破解三角函數最值問題的兩種方法

■馮克永

三角函數的最值問題是高中數學的核心內容,也是高考考查的重點。此類問題的命題背景選擇面廣,常會形成知識交匯題。下面介紹兩種有效的解題方法,供大家參考。

一、化為y=Asin(ωx+φ)+B 的形式求最值

根據所給解析式的特征,利用三角公式將所給解析式化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式,再利用正弦函數的有界性求解。

解:先將角x統一為角2x,再利用輔助角公式求解。

二、化為二次函數的形式求最值

利用所給解析式的平方關系,通過換元將其轉化為二次函數的最值問題求解。

例 3 求函數y=-cos2x-2asinx+5(a∈R)的最小值。

解:先把異名化為同名,再轉化為二次函數求解。

y=-cos2x-2asinx+5=sin2x-2asinx+4(a∈R)。

令t=sinx,t∈[-1,1],則y=t2-2at+4=(t-a)2+4-a2,其對稱軸方程為t=a。

所以當a≤-1,t=-1時,ymin=5+2a;當-1＜a＜1,x=a時,ymin=4-a2;當a≥1,t=1時,ymin=5-2a。

例4 求函數y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值。

解:先整體降次,再轉化為二次函數求解。

y=7-4sinxcosx+4cos2x(1-cos2x)=7-2sin2x+sin22x。

令t=sin2x,t∈[-1,1],則y=t2-2t+7=(t-1)2+6,其對稱軸方程為t=1。

所以當t=1時,ymin=6;當t=-1時,ymax=10。