三道三角函數中考題之我解

李玉榮

(南京金陵中學河西分校 210019)

以圓為背景的三角函數題是中考的熱點題型之一，這類題融合了幾何證明與代數計算，具有一定的難度．恰當的輔助線是解題的突破口，解題方法的不同，決定了解題 “長度”的不同．

題1 (2010·山東泰安)如圖1，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F．

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為2，BE=1，求cosA的值．

標準答案：

(1)證明：連結OD.

∵AB=AC，∴∠ACB=∠B.

∵OD=OC， ∠ACB=∠ODC，

∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB.

∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線.

(2)由(1)知OD∥AE，∴△FOD∽△FAE，

簡潔解法如圖2，連接OD，作OG⊥AB于點G，

則四邊形OGED為矩形，∴GE=OD=2.

∴AG=AB-GE-BE=1，

評注標準答案是將∠A置于Rt△AEF中，需要求出AF，這需要通過相似三角形列比例解方程得到；而后一種解法巧妙地添加輔助線，將∠A置于Rt△AGO中，直接求得結果，解法更為簡潔．

題2 (2014·湖北鄂州)如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過C作CD⊥AD于D，交AB的延長線于E．

(1)求證：CD為⊙O的切線；

標準答案

(1)證明：如圖3，連接OC.

∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB.

∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.

∵OC為⊙O半徑，∴CD是⊙O的切線.

(2)解：如圖4，連接BC.

∵AB為直徑，∴∠ACB=90°.

∵CD⊥AD，∴∠D=90°，∴∠ACB=∠D.

∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB，

簡潔解法如圖5，連接OC，作OH⊥AD于點H，

評注標準答案是將∠DAB置于Rt△AED中，需要求出AE，為此，需要兩次利用相似三角形求解；而后一種解法巧妙地添加輔助線，將∠A置于Rt△AHO中，利用勾股定理求出半徑進而得到結果，解法更為簡潔．

題3 (2014·湖北武漢)如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，交PA、PB于C、D．若⊙O的半徑為r，△PCD的周長等于3r，則tan∠APB的值是( ).

標準答案如圖6，連接OA、OB、OP，延長BO交PA的延長線于點F．

∵PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，

∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB.

在Rt△FBP中，∵PF2-PB2=BF2,

簡潔解法如圖7，過點O作OG∥PA交PB于點G，過點G作GH⊥PA于點H，

則四邊形PAGH為矩形，GH=AO=r.

在Rt△OGB中，根據勾股定理得GB2+OB2=OG2，

評注此題必須添加輔助線，標準答案是將∠APB置于Rt△FBP中，需要求出BF，這需要通過相似三角形列比例找出AF與BF的關系，再利用勾股定理列方程求解；而后一種解法巧妙地添加輔助線，將∠APB置于Rt△GHP中，僅僅利用勾股定理就求得結果，解法更為簡潔．

從題1、題2的解題過程看，連接半徑后得到直角梯形，作高求解就十分自然、順暢，而題3連接半徑后得到有一對角為直角的四邊形，過一個頂點作一邊的平行線就轉化為直角梯形，進而可作高求解．可見，掌握基本圖形及其轉化方法，即把隱形的解題經驗顯性化、算法化，對有效、簡潔解題十分有幫助．

參考文獻：

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[3]陳奕，蘇洪雨.一道平面幾何題的說題設計的探究[J].中學數學(初中版)，2016(8)93-95．