例析函數f(x)=lnx/x的應用

林桂標

(廣西欽州市第二中學 535099)

想要開展對函數f(x)=lnx/x的應用教學，首先需要讓學生們了解該函數的基本性質，摸清它的單調性、圖象、極值和圖象等.在介紹其單調性時，必定會涉及到函數求導，在求導過程中又需要先確定函數定義域.求導后又可以確定函數的最值與極值.有了上述研究基礎，本文再進一步結合實例，對該函數在不同知識點考察中的應用展開討論.

一、函數f(x)=lnx/x的基本性質

由兩個基本初等函數的定義域，確定函數f(x)=lnx/x的定義域為(0,+).對該函數進行求導，得到如下關系式求解f′(x)>0，解得0e.綜上可知，f(x)在(0,e)上是增函數，在(e,+)是減函數，當x=e時取得極大值也是最大值，并將該函數圖象繪制如右圖.

二、函數f(x)=lnx/x的應用

應用1：比較ab與ba的大小(a>0,b>0)

應用1是對函數f(x)=lnx/x單調性的考察，只需要對函數形式進行簡單變換即可實現.

當a、b∈(e,+)，且aba.

例1 (2014年高考湖北卷第22題)π為圓周率，e是自然對數的底數，e=2.71828….(1)求函數f(x)=lnx/x的單調區間；(2)(文)求e3、3e、eπ、πe、π3和3π這六個數中的最大數與最小數.

解析(1)根據上文對函數f(x)=lnx/x的基本性質的介紹，即可確定該函數的單調區間；(2)已知函數y=ex、y=3x、y=πx都是單調增函數，可得e3

應用2：函數零點判斷

例2 (2013年江蘇高考第20題)已知函數f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實數.若函數g(x)在定義域(-1,+)單調增，求函數f(x)的零點個數.

解析函數g(x)在定義域(-1,+)單調增，則有g′(x)=ex-a≥0在定義域內恒成立，則a≤(ex)min，即是由函數零點性質可知，函數f(x)的零點個數即是方程的根的個數，也就是函數y=a與函數f(x)=lnx/x的圖象交點個數.至此，本題由函數零點問題轉化成了兩個函數圖象交點問題.結合函數f(x)=lnx/x的圖象，可知：當或者a≤0時，函數f(x)有一個零點；當時，函數f(x)有兩個零點.

總之，函數f(x)=lnx/x在高中數學教學中有著廣泛的應用.看似關系不大的數列、函數零點和比較大小問題，通過構造出來的輔助函數，都與函數f(x)=lnx/x有著千絲萬縷的聯系.尤其是在高中總復習階段，類似的點撥式教學，將各類知識點通過某一函數相聯系，實現數學教學的舉一反三、觸類旁通，有效提高教學效率.

參考文獻：

[1]陸永.函數f(x)=lnx/x特殊性質的研究及應用[J].高中數理化，2017(07).

[2]沈宇斌，李卓，姚凱，劉輝，甘大旺.如何探求函數f(x)=x～x的單調性與最小值[J].高中數理化，2014.