用類比思想來認(rèn)識初、高中幾何的幾個(gè)結(jié)論

周桂蕓

(山東省淄博市第十七中學(xué) 255033)

立體幾何是幾何學(xué)的重要組成部分，對高中學(xué)生來講，學(xué)這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)是初中的平面幾何，教學(xué)中注重把平面幾何的知識推廣到空間中來，采用類比推廣的方式，從二維平面過渡到三維空間，對突破教學(xué)難點(diǎn)，開拓學(xué)生的思維的廣度非常重要.下面看幾個(gè)例子.

一、等邊三角形的內(nèi)切圓與外接圓(二維平面)和正四面體的內(nèi)切球與外接球(三維空間)

平面幾何中： 等邊三角形有且只有個(gè)內(nèi)切圓與一個(gè)外接圓，其圓心為等邊三角形的中心.

如圖1等邊△ABC的邊長為a，則有以下四個(gè)結(jié)論:

空間幾何中：正四面體有且只有一個(gè)內(nèi)切球和一個(gè)外接球，其球心是正四面體的中心.如圖2若正四面體的棱長為a，亦有上述類似的四個(gè)結(jié)論:

下面求解一下.如圖2，過A作AO′⊥面BCD,垂足為O′.連結(jié)O′D.

在Rt△AO′D中：

∴正四面體的高

設(shè)正四面體的中心為O，則O即為其內(nèi)切球的球心，亦為外接球的球心，且OA=OD=R，OO′=r.

在Rt△OO′D中：OD2=OO′2+O′D2,

由此得出：R=3r.

二、正方形的內(nèi)切圓和外接圓(二維平面)與正方體的內(nèi)切球和外接球(三維空間)

空間中：(如圖四)正方體中：

三、平面中，正三角形內(nèi)的任一點(diǎn)到各邊的距離和為定值；正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離和為定值

空間中：正四面體的四個(gè)面面積為S，體積為V，在四面體內(nèi)任取一點(diǎn)P，P到各面的距離分別為h1、h2、h3、h4，求證：h1+h2+h3+h4是定值.

分析高一學(xué)生在做此空間題目時(shí)，幾乎無從下手，但只要回顧平面幾何中的證法，學(xué)生深受啟發(fā)，對比如下：

簡證在平面中

S△ABC=S△APB+S△BPC+S△APC，

∴h1+h2+h3=h為定值.

空間中：V=VP-ABC+VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD，

四、平面中的勾股定理推廣到空間中是什么結(jié)論呢

二維平面 → 三維空間

圖形推廣：

直角三角形→三條棱兩兩垂直的棱錐

有以上知識做鋪墊、滲透，學(xué)生能寫出結(jié)論猜想，這是一非常正確的結(jié)論.其證明方式很多，現(xiàn)介紹一種(教學(xué)中，此證明僅供有興趣的學(xué)生參考).

如右圖：由VA、VB、VC兩兩垂直，

既得出面VAB、面VBC、面VCA兩兩垂直；

作VO⊥面ABC，連接CO并延長交AB于E.由VC⊥VB，VC⊥VA，可知：VC⊥面VAB，由VE?面VAB可知：

VC⊥VE，△VEC為直角三角形.

∴△ABC的面積的平方為：

證畢.

教學(xué)中運(yùn)用這類比的思想，從二維空間到三維空間加以滲透，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考.大膽猜想，然后嚴(yán)密證明，這符合數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練要求.我們在教學(xué)中要善于發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系，多給學(xué)生一些有益的啟發(fā)，然后指導(dǎo)學(xué)生去思考、去發(fā)現(xiàn).

參考文獻(xiàn)：

[1]王瑾,賀賢孝.數(shù)學(xué)證明與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2000(10).

[2]羅增儒.數(shù)學(xué)證明的作用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2001(05).