浮動利率住房抵押貸款提前還款期權的識別和定價

唐恩林，周 毅，向 偉

隨著房地產市場的發展，住房抵押貸款越來越普遍，住房抵押貸款業務的利息收入在商業銀行貸款收入中占有相當重要的比重。對于浮動利率住房抵押貸款，央行對貸款基準利率的上調會導致借款人提前還款行為的發生，進而導致商業銀行出現利率風險敞口和再投資風險[1-2]。通過對我國11家商業銀行2008—2016年這幾年的住房抵押貸款的調查發現，違約率即提前還款比例高達1.94%，其中個別銀行的違約率達到13%[3]。要避免這樣的風險，需要認識可提前償付住房抵押貸款的本質，識別其中的隱含期權。提前還款期權的定價是商業銀行抵押貸款提前償付風險管理的基礎和前提，因此研究提前還款期權的定價對商業銀行利率風險管理意義重大。

1 浮動利率住房抵押貸款提前還款期權的識別

1.1 住房抵押貸款的分解

住房抵押貸款的提前還款是指借款人可以在合同到期前任何時候一次性還清房貸款項，這種形式與可贖回債券有一定的相似之處，所以可以將可提前償付的住房抵押貸款進行分解，其等同于借款人向商業銀行發行了可贖回債券，只是這種可贖回債券是含權的，內含的隱含期權價值被商業銀行忽視了，進而損失了期權費。通常情況下，當整個市場基準利率上升到一定程度時，借款人的每月按揭還款額會增加，為了減輕利息支出的壓力，往往會選擇提前還款，“贖回”權即利率看漲期權就會被執行。商業銀行面臨著貸款提前收回的風險，卻并沒有為此風險收取期權費用。從這個角度來看，可提前償付的住房抵押貸款價值中包含了利率看漲期權的價值。

1.2 住房抵押貸款提前償付對商業銀行的影響

提前償付的影響具體可以從正反兩方面闡述。正面作用：提前還款行為消除了商業銀行住房貸款的信用風險，消除了商業銀行對住房貸款違約問題的長期疑慮；增強了商業銀行的資產流動性，這種長期的信貸大大的占用了銀行的流動資金，甚至出現資產的證券化來盤活資金，所以提前償付正好解決了資金的流動性問題，讓商業銀行有更多的閑置資金來尋找更好的投資機會。負面影響：住房貸款的提前償付打亂了商業銀行原先的資產負債管理結構和長短期資產負債的匹配度，讓商業銀行出現了利率風險敞口；提前償付讓商業銀行原有的資產收益減少，商業銀行需要用提前歸還的房貸資金重新尋找新的投資機會，即出現了再投資風險[4]。

住房抵押貸款既可以采用浮動利率計息形式，又可以采用固定利率計息形式，而當前我國的住房抵押貸款基本都是采用浮動利率計息，每月的按揭還款額會隨著人民銀行對存貸款基準利率的上調而增加。用A表示房貸總額，r代表計息的利率，N表示貸款合同總期限，MP表示每月還款額，則

第k月月供中的利息額和本金分別是

假如提前償付行為發生在第k月，則提前償付引起的商業銀行損失為

其中，a是彌補再投資風險的補償數額。

2 浮動利率住房抵押貸款提前還款期權的定價

2.1 隨機市場利率模型和貸款利率模型的選擇

浮動的貸款利率和市場利率的變動情況是影響提前償付行為的主要因素，準確地說取決于貸款利率與合同約定利率之差。因此，貸款利率和市場利率會嚴重影響購房者的重新借款成本和貸款余額與違約金之和的對比，當某一時刻提前還款的違約金與貸款余額之和小于重新借款的成本時，提前還款行為會發生[5]，所以在研究住房抵押貸款提前償付行為時，市場利率和浮動貸款利率的刻畫尤為重要。

市場利率能夠相對準確地反映資金市場的供求情況，目前用于描述市場利率的主要有國債回購利率和銀行間同業拆借利率，而能夠較好地擬合我國短期利率的利率期限結構模型是CIR模型[6]，即

其中h，rˉ和σ1均為正數，h表示利率向均值進行回復的速度，rˉ為利率的均值，σ1反映的是利率的波動率，Bt是標準的布朗運動。t時折現因子為

其中

由于人民銀行會不定期調整存款基本利率，各商業銀行會以其為基準且有一定的浮動權限，所以這里的貸款利率采用純跳模型。假設t時刻貸款利率為 f(t)且服從純跳模型，即

其中 k～ N(μ,σ2)代表跳躍幅度，{N(t),t≥0}代表泊松過程。這里假設k與{N(t),t≥0}獨立。

2.2 提前還款期權定價模型的建立

2.2.1 浮動利率住房抵押貸款提前還款期權定價的原理

住房抵押貸款某一時刻提前還款行為主要取決于當時借款人的借款成本和貸款余額與違約金之和的對比。如果用D(t)代表在t時刻住房抵押貸款提前還款期權，用V(t)代表在t時刻的借款成本，用X(t)代表抵押貸款的未來現金流的貼現值，那么t時刻住房抵押貸款提前還款期權為

由于人民銀行控制了存貸款基準利率，且這里需要對未來的貸款利率做出合理預期（即前述的用CIR模型刻畫短期市場利率變動路徑，且假設貸款基準利率的變動服從單純的跳躍過程），然后用數學期望的方法來估計V(t)和X(t)，進而得知D(t)[7]。

2.2.2 浮動利率住房抵押貸款提前還款期權定價模型的建立

由于一個月相對于整個貸款合同期限是很短的，所以這里使用連續的模型。最初的住房抵押貸款總數為M，貸款時間為T，M(t)為借款人在[0,t]的償還金額，這里假設還款方式采用等額本金，那么在[0,t]內的dt時間間隔內：

假設不可提前償付住房抵押貸款的未來現金流在0時刻折現，值用X(0)表示：

則在[0,T]時間段內的任一時刻τ（0≤τ≤T），抵押貸款的未償還本金額是。假設在這一時刻，借款人沒有提前還款，那么就可以把τ時貸款的預期現金流進行貼現并記為X（τ），與前面的 dM(τ)不一樣的是，這里的 dM'(τ)為

因而

因(12)式中含有 f(t)，這里將采用X(t)的數學期望值近似表示X(t)，又 f(t)滿足跳躍過程，因而：

式中N(t)是[0,t]內貸款利率的跳躍次數，由隨機過程理論進行轉化得出：

其中P{N(t)-N(0)=N}是在[0,t]內貸款利率n次跳躍的概率，λ是跳躍強度。

由(14)式可知，

又

t時的貸款余額為L(t)，當V(t)≥L(t)時，理性的借款人會執行期權，選擇提前還款。將T分割N等分，也就是說支付日是0=t0＜t1＜…＜ti＜…＜tN=T 和 ti+1-ti=Δt，另外在借款人提前還款時還需要繳納違約金α，那么當 ti＜t＜ti+1時：

在風險中性條件下使用Δ對沖以及運用無套利原理，可以得到：

在tN-1＜t＜tN=T ，從方程組：

又因為在支付日t=tN-1，商業銀行的應收款額為，因而

在tn-1＜t＜tn，1＜n≤N-1，從方程組

尤 其 是 當t=t0=0時 ， V |t=0=V(r,0-)，所 以D(t)=V(t)-X(t)即為t時刻提前還款的期權價值。

2.3 模型的求解

使用離散的數值計算方法，在區間[tn-1,tn]上構建差分格式：

同理，

運用數值計算方法，求得V(r,tn-1)，同理可以計算出V(r,0)，X(r,0)，進而求得t時刻提前還款的期權價值D(t)=V(t)-X(t)。

3 結論

提前償付住房抵押貸款業務可以看成內含選擇權的可贖回債券，由于住房抵押貸款某一時刻提前還款行為主要取決于當時借款人的借款成本和貸款余額與違約金之和的對比，所以浮動利率住房抵押貸款提前還款期權的理論定價為抵押貸款的未來現金流的貼現值減去借款成本，這一結論為商業銀行度量和控制抵押貸款提前償付利率風險提供了很好的理論依據。

參考文獻：

[1]李鵬雁，王雅林.基于層次分析法的住房抵押貸款風險評價[J].哈爾濱工業大學學報，2006(11)：23-25.

[2]陳穎，屠梅曾.住房抵押貸款償還過程中的博弈分析[J].哈爾濱工業大學學報,2007(8)：1341-1344.

[3]王福林.個人住房抵押貸款違約風險影響因素實證研究[D].杭州：浙江大學，2004.

[4]戴建國，黃培清.住房抵押貸款的提前支付特性及其定價[J].系統工程理論方法應用，2001(2)：121-124，130.

[5]袁貴秋，姜禮尚，羅俊.固定支付利率的抵押貸款定價理論——限于在支付日提前支付或違約[J].系統工程理論與實踐，2003(9)：48-55.

[6]劉暢，徐承龍，謝志華.提前還款及其隱含期權的分析[J].應用數學與計算數學學報，2006，20(12)：104-108.

[7]卜壯志，徐成賢.浮動利率房貸提前還款的損失度量[J].金融論壇，2008(2)：49-52.