巧用零載法輔助幾何構造分析

孫麗麗

平面體系幾何構造分析一般會作為結構力學的開篇來講解，通過這學習，學生建立對體系幾何組成的認識，為靜定結構及超靜定結構的內力及位移計算打下基礎。平面體系幾何構造分析一般通過鉸接三角形規律及零載法來實現，一方面基本組成規律從內容上講淺顯易懂，但是對于初學者來說，如何快速準確地選取剛片，并不容易；另一方面，零載法僅限于處理計算自由度等于零的體系，且需要經過復雜的力學計算，操作性不強。對于一些復雜題目，若只用簡單的規則進行分析，那么對初學者選取剛片的能力就提出了很高的要求，但實際上一般初學者很難做到。有學者就剛片的靈活選取提出了有效的解決方法，如利用鉸結三角形代換幾何不變的局部，利用鉸接三角形代換桿件[1]；將剛片做等效變換，約束等效置換等[2]。本文利用零載法，證明了三桿鉸接體系（其中一根桿件為支桿與基礎相連），在幾何構造分析中可以等效為一個剛片，從而解決了復雜體系的剛片選取問題。

1 經典結構力學幾何構造分析剛片法

鉸接三角形規律提出了剛片的基本選取原則，即一般選取鉸接三角形桿系為剛片，然后按照基本規律，確定其余剛片和約束的用途分配。如圖1所示體系為幾何不變體系且無多余約束，一般采用圖2所示的剛片選取方式，兩個鉸接三角形分別為剛片I和II，基礎為剛片III，3個剛片通過3個鉸結點連接。

然而鉸接三角形規律指導下的剛片選取方法有一定的局限性。對于圖1所示體系，保持內部桿件連接方式不變，僅僅交換體系中左邊支座和下邊支座的位置，得到圖3所示體系，則圖2的剛片選取方法不再適用。圖3的特點為體系與基礎聯系（約束）多于3個且體系內部桿件連接中有多個鉸接三角形剛片，經典的幾何構造分析解法一般不把與基礎以固定鉸形式相連的鉸接三角形視為剛片，即在圖4中桿件DF為剛片I，鉸接三角形BCE為剛片II，基礎為剛片III，讀者可以自行找到三個鉸結點的位置，故圖3所示體系為幾何不變體系且無多余約束。形如圖3這類問題的剛片選取方法具有一定的適用性。如圖5體系，先去掉二元體后，可以嘗試利用圖3的剛片選取方法確定體系的幾何構造。但是對于有些題目，如圖3所示剛片選取方法并不適用。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

2 零載法

零載法指出，對于計算自由度W=0的體系，如果是幾何不變的，則在荷載為零的情況下，它的全部桿件內力應為零；反之，它的某些桿件內力可不為零[3]。如圖6所示體系，計算自由度（結點法）W=2×10-20=0，符合零載法應用條件。體系簡化后如圖7，首先假設AD桿的軸力為X，由結點法求出各桿軸力，標注如圖7，可見結構有自內力，故圖6體系為幾何可變體系。

零載法的局限性：其一，要求體系計算自由度等于零；其二，需要計算出荷載為零的情況下，桿件全部內力為零，計算復雜，稍有不慎，導致內力計算錯誤，會對幾何組成性質做出錯誤的判斷。

圖6

圖7

3 問題新解

基于平面幾何構造分析中經典鉸接三角形規律及零載法存在的問題，下面證明如圖8所示三桿鉸接體系（其中一根桿件為支桿與基礎相連），在幾何構造分析中等效為一個剛片，從而為平面幾何構造分析中剛片的選取提供一個新的求解思路，是鉸接三角形規律及零載法的重要補充。

為滿足零載法關于體系計算自由度W=0的要求，將圖8所示桿件體系作為一個整體與基礎通過三根桿相連，形成圖9所示體系，體系計算自由度W=2×3-6=0，容易證明圖9所示體系在零荷載情況下無自內力，故圖9所示體系為幾何不變體系。對這一結論也可以利用兩剛片法則解讀為基礎為一個剛片，圖9所示陰影部分為一個剛片（即一個桿件），兩個剛片通過鉸桿相連。

基于零載法證明的結論，為幾何構造分析剛片選取提供了新思路。對于圖5所示體系，利用三桿鉸接體系（其中一根桿件為支桿與基礎相連）可以視為剛片的結論，如圖10所示選取剛片，去掉二元體后，鉸D處的三桿鉸結點相當于一個剛片（即一根桿），即剛片I和剛片II通過鉸桿相連，再和基礎通過鉸桿相連接。

圖8

圖9

圖10

在文獻[1]中提出了用鉸接三角形代換桿件的方法解決圖11（a）所示體系的幾何構造分析，將體系化簡為圖11（b），剛片選取如圖11（b），讀者可以嘗試自行找到3個鉸結點的位置，該體系為幾何不變體系，且無多余約束。如果利用三桿鉸接體系可以視為一個剛片的結論，對于圖11（a）采用如圖12所示選取剛片，即依然選擇鉸接三角形為剛片I和II，圖12中陰影部分相當于一根桿件，則利用兩剛片法則將剛片I和剛片II通過鉸桿連接，再和基礎連接，同樣可以得出幾何不變體系且無多余約束的結論。可見，利用三桿鉸接體系（其中一根桿件為支桿與基礎相連）可以視為一個剛片的結論，剛片的選取更為簡單直接，可以延續選取鉸接三角形為剛片，對于初學者來說，掌握起來更容易，減少了剛片選取中過多的變換原則，使題目的分析更加簡單易懂。讀者可以嘗試用上述方法分析圖13的幾何組成性質。

對于圖14所示體系[4]，體系本身屬于復雜桁架，幾何構造分析難度較大，利用零載法的結論，將鉸結點A處的兩根水平桿（AB和AC）和A處支桿看成一個剛片（即一根桿），則鉸接三角形BCD為一個剛片，向兩側依次增加二元體，即可形成擴大剛片，再和基礎通過鉸桿相連，所以為幾何不變體系，無多余約束。

圖11 （a）

圖11 （b）

圖12

圖13

4 結束語

幾何構造分析中剛片的選取具有極大的靈活性，一般初學者較難掌握。對于一些不能用簡單的鉸接三角形規律來選取剛片的體系，通過零載法證明的三桿鉸接體系（其中一根桿件為支桿與基礎相連），在幾何構造分析中可以視為一個剛片（即一根桿件），使得鉸接三角形桿系在幾何構造分析中可以繼續作為剛片使用，保持了剛片選取方法的一慣性，為初學者熟練掌握剛片的選取提供了重要幫助，也為復雜體系的剛片選取提供了有效解決方法，是平面幾何構造分析中等效變換法的有效補充。

參考文獻：

[1]于蘇民.鉸結三角形代換法作平面桿系幾何組成分析[J].力學與實踐,2005,27(2)：72-73.

[2]樊友景,樊大為.幾何構造分析中的等效變換[J].力學與實踐,2012,34(2)：77-78.

[3]龍馭球,包世華,袁駟.結構力學2,專題教程[M].北京：高等教育出版社,2012：4-5.

[4]龍馭球,包世華,袁駟.結構力學1,基礎教程[M].北京：高等教育出版社,2012：45.