由遞推關系式確定數列的階

岳素芳

在一些問題中，數列的表達式不是具體顯式給出的，而是通過遞推關系式給出的，也就是遞推數列。當初值給定時，通過遞推關系式，利用單調性，通常可以求出數列的極限。極限為零的數列稱之為無窮小數列。但是如何確定它們趨于0的速度，這就要對數列進行更加細致的刻畫。綜合法是很多證明所采用的方法，優點是過程簡潔。但是這種方法通常要對數列有個大體的預判，甚至要知道結果才行。這樣很多問題的解答顯得很突然，很難被讀者接受與掌握，而分析的方法因過程清晰明了，容易被接受。

{n-α}(α＞0)是最簡單常用的無窮小數列，規定指數α為它的階。許多遞推公式所確定的數列為無窮小數列。而很多時候僅僅知道它是無窮小是不夠的，需要對它收斂到零的速度給出一個大體的界定，這就需要對an給出一個更細致的刻畫。本文針對兩種遞推類型給出數列{an}階的界定。

1 相關定義

(2)階數α越大，表明an收斂于零的速度越快；

(3)若c=0，則稱an為n-α的高階無窮小數列。與無窮小數列對應的是無窮大數列，類似于無窮小數列的階，可以定義無窮大數列的階。

2 形如an+1=f(an)所確定的數列

若函數 f(x)在x=0的某個領域內可以展開為帶有皮亞諾型余項的泰勒公式：

則可假設{}an的階為α，即

其中c與α為待定常數。當n充分大時有

而由（1）式可得

這樣，比較（4）式和（5）式，可以確定c與 α。

例1 設 0＜a1＜π ，an+1=sinan，n=1,2,… ，討論級數的斂散性。

此題在很多參考書上都有涉及[3-4]，但是所給出的方法讓人感覺不是太突兀就是太復雜。這里，我們利用分析的方法給予說明。

分析 首先，利用單調有界原理，容易判別數列{an}是收斂到0的。 設{an}的階為 α，即（2）式成立。利用遞推關系an+1=sinan,n=1,2,…及泰勒公式得到

例2 設 x1＞0,xn+1=xn(1-xn)，n=1,2,…，證明級數發散。

而

3 形如an+1=f(n,an)所確定的數列

這類問題，因n亦是an的函數，故 f不能單獨看成an的函數而對an進行泰勒展開。這時可以利用收斂級數與數列的關系來確定an的階。

定理[2-3]數列收斂的充分必要條件是級數收斂。

證明 由遞推關系式可知an是嚴格單調遞增數列，且an＞0。若α＞1，則由不等式

而由數列an收斂知∑(an+1-an)收斂，從而α＞1。由知，

于是令k→∞可得

注 類似的方法，可以將本例推廣到an為無窮大數列的情形，結論變為：當α＜1時，

特別地，當α=0時，這時 f(n,an)可以僅作為an的函數，而易知{an}為無窮大數列，從而為無窮小數列。這樣可以利用第一種類型的方法來求由an+1=f(an)所確定的無窮大數列的階。具體過程如下。

一方面

另一方面，

4 結束語

針對不容易求出通項公式的兩種類型遞推關系式給出的數列{an}，要判定其大致收斂速度，可以通過它們與nα或n-α進行比較，然后利用泰勒公式或者級數理論來推導出數列{an}的階。利用分析的方法，可以將問題刻畫得更加深入，并利于讀者接受。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2001：59-64.

[2]陳紀修，於崇華，金路.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2000：98-105．

[3]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2006：69-83．

[4]朱堯辰．數學分析范例選解[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2015：18-25．