歐氏空間線性映射的標準形

鮑炎紅

線性空間和歐氏空間是線性代數的兩個主要研究對象，本科階段線性代數主要介紹了線性空間上的線性映射、線性變換、對稱雙線性函數、二次型以及歐氏空間上兩種特殊的線性變換，即正交變換和對稱變換[1-3]。但一般教學中沒有涉及歐氏空間之間的一般線性映射，從線性代數研究的系統性來說，歐氏空間上的一般線性映射是很有必要介紹的。

矩陣是研究線性空間上各種映射的最主要工具，這是因為映射的線性性或雙線性性保證了它可由其在一組基向量上的作用唯一確定，由此可以通過選取線性空間的基，再用矩陣來表示整個映射。研究這些映射的“最簡單”矩陣表示，即標準形理論，它是線性代數的核心內容，一般有幾何方法和矩陣方法，其中幾何方法是根據空間分解理論來尋找合適的基，使得這些映射在這些基下的矩陣具有最簡單的形式；矩陣方法是先根據不同基下矩陣之間的等價關系尋找相應的完全不變量，再根據完全不變量直接寫出相應的最簡單矩陣表示。不難看出，矩陣方法都對應著一種矩陣分解理論。矩陣的分解是將一個矩陣分解為若干個滿足一定條件的矩陣之和或乘積。常見的矩陣分解有等價標準形分解、Jordan標準形分解、滿秩分解、極分解、正交-三角分解、奇異值分解等[4-5]，其中奇異值分解是極為重要的一類分解，它不僅有著豐富的理論意義[6]，同時在物理、計算機、電子等諸多學科中都有著重要的實際應用。本文主要研究歐氏空間上一般線性映射的標準形，并討論這一標準形理論與矩陣奇異值分解的關系。

先回顧線性空間之間的一般線性映射及其標準形理論。設σ為線性空間V到W的線性映射，任取V的一組基ε1,ε2,… ,εn和W 的一組基，則記

其中A=(aij)為m×n矩陣，稱其為σ在這兩組基下的矩陣。注意選取不同的基，得到的矩陣就會不同。因此，若通過矩陣A來研究σ，自然就需要分析不同基下矩陣之間的關系。不難驗證這種關系正是矩陣的等價關系（又稱相抵關系），于是只有等價的矩陣所共有的性質才能作為線性映射的性質，也就是說只有矩陣的等價不變量才能用來描述線性映射，如矩陣的秩可以用來刻畫線性映射。線性變換在不同基下的矩陣是相似的，故所有相似不變量，如特征值、行列式、跡、特征多項式和極小多項式等，也都可以用來描述線性變換。對稱雙線性函數或二次型的矩陣是對稱陣，不同基下矩陣是合同的，則合同不變量，如實對稱矩陣的正、負慣性指數，也就可以用來刻畫實對稱雙線性函數和實二次型。因此，尋找各種映射的最簡單矩陣表示（又稱標準形問題）自然成了關鍵問題，該標準形一旦找到，各種不變量都將一目了然。

對于線性映射，由矩陣的初等變換得到一個最基本的矩陣分解，即對任意m×n矩陣A，總存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使得

其中Ir為r階單位陣，r為A的秩，O 為相應階的零矩陣。由此可知，總存在V的一組基和W的一組基，使得σ在這兩組基下的矩陣形如

由此可以立即求出秩、核和像。

線性變換的相似標準形與基域有很大的關系，如復數域情形有Jordan標準形，一般數域情形有有理標準形，這里僅以復線性變換的Jordan標準形為例。利用λ-矩陣理論，對任意n階復矩陣A，總存在n階可逆陣P，使得

其中 J(λi,mi)（i=1,2,…,s）為對角元為 λi的 mi階Jordan塊。由此可知，對于復線性變換A，總存在一個基，使得A在該基下的矩陣形如

由Jordan標準形與其對應的基可以直接看出A的特征值與特征向量、特征多項式、極小多項式、特征子空間、根子空間等。

雙線性函數的合同標準形與基域也有關，這里僅以實線性空間為例。由對稱矩陣的合同變換知，對任意n階對稱陣A，總存在n階可逆陣P，使得

因此，任一實線性空間上的對稱雙線性函數或二次型，總存在一組基，使得它在該基下的矩陣形如

并由此可以看出正、負慣性指數。

下面主要討論歐氏空間的一般線性映射。從實際幾何應用的角度看，標準正交基對應著直角坐標系，因此對于歐氏空間，選取的基一般都是標準正交基。

設V,W分別為n維和m維歐氏空間，ε1,ε2…,εn和 η1,η2,…,ηm分別為 V 和 W 的標準正交基，線性映射φ:V→W在這兩組基下的矩陣為 A。設 φ在V的另一組標準正交基ε'1,ε'2…,ε'n和W的另一個標準正交基η'1,η'2,…,η'm下的矩陣為 B，則 B=P-1AQ，其中 P，Q分別為從η1,η2,…,ηm到 η'1,η'2,…,η'm和 從 ε1,ε2…,εn到ε'1,ε'2…,ε'n的過渡矩陣，從而 P ，Q 均為正交陣。

定義 設A，B為m×n實矩陣，若存在m階正交陣U1和n階正交陣U2，使得B=U1AU2，則稱A與B正交等價。

顯然正交等價也是Rm×n中的一種等價關系，即滿足自反性、對稱性和傳遞性。歐氏空間上的線性映射在不同標準正交基下的矩陣是正交等價的。下面用幾何方法探尋“正交等價標準形”。

定理 設φ:V→W為歐氏空間V,W之間的線性映射，則總存在V和W的標準正交基，使得φ在這兩組標準正交基下的矩陣為其中 D=diag(λ1,…,λr)，λi＞0 ，i=1,…,r。

證明 設φ*:W→V為線性映射φ的伴隨映射，即對任意 α∈V,β∈W ，都有

事實上，若 φ 在V 的基 ε1,ε2…,εn和W 的基η1,η2,…,ηm下的矩陣為 A ，則不難看出 φ*在基η1,η2,…,ηm和基 ε1,ε2…,εn下的矩陣為 AT，即 A的轉置。 此時，對任意 α∈V,β∈W ，設 α 在基ε1,ε2…,εn下 的 坐 標 為 X∈Rn， β 在 基η1,η2,…,ηm下的坐標為 Y∈Rm，則 φ(α)在基η1,η2,…,ηm下 的 坐 標 為 AX ，φ*(β) 在 基η1,η2,…,ηm下的坐標為 ATY ，則

考慮φ與φ*的復合映射φ*°φ:V→V，則對任意 α,α'∈V 有

((φ* ° φ)(α),α')=(φ(α),φ(α'))=(α,(φ* ° φ)(α'))，即φ*°φ為歐氏空間V上的對稱變換，這一點當然從 φ*°φ 在標準正交基 ε1,ε2…,εn下的矩陣ATA為對稱陣也很容易看到。進一步，再由ATA的半正定性可知，φ*°φ有n個非負實特征值，不妨設為 λ12,…,λ2r,0,…,0，其中 λ1,…,λr＞0,0≤r≤n 。 設φ*°φ 在V 的標準正交基 α1,α2,…,αn下的矩陣為diag(λ12,…,λ2r,0,…,0)，記 βi=φ(αi)，i=1,…,r ，則 β1,β2,…,βr為W的一個標準正交向量組。事實上，

成為 φ的正交等價標準形，其中D=diag(λ1,…,λr)。

上述證明過程中，λ1,…,λr稱為線性映射φ或矩陣A的奇異值。與正交等價標準形相對應的矩陣分解正是矩陣的奇異值分解，即對任意m×n實矩陣A，總存在m階正交陣U1和n階正交陣U2，使得

其中 D=diag(λ1,…,λr)，且 λ12,…,λ2r為ATA的所有非零特征值。上述歐氏空間上線性映射的標準形的推導本身也給出了奇異值分解的一種證明。

推論 設A，B為m×n實矩陣，則A與B正交等價的充分必要條件是它們的奇異值對應相同。

最后，類似討論酉空間上的一般線性映射的標準形，用酉矩陣代替正交陣，便可得到復矩陣的奇異值分解。

參考文獻：

[1]杜先能,葉郁,殷曉斌,等.高等代數[M].北京：高等教育出版社,2013：310-321.

[2]李炯生,查建國,王新茂.線性代數[M].2版.合肥：中國科學技術大學出版社,2010：329-365.

[3]李尚志.線性代數[M].北京：高等教育出版社,2010：493-518.

[4]趙禮峰.高等代數解題法[M].合肥：安徽大學出版社,2008：94-95.

[5]楊明,劉先忠.矩陣論[M].2版.武漢：華中科技大學出版社,2003：60-90.

[6]劉長河,高圣潔.矩陣的奇異值與特征值的關系探究及應用[J].高等數學研究,2010,13(4)：11-13.