培養推理能力，提升數學素養

沈怡甜

《數學課程標準（2011）版》指出：“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中，是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。”推理一般分成合情推理和演繹推理，合情推理和演繹推理在數學學習中充分體現了數學的創新性和嚴謹性。合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果，這種從已有的事實出發推理出的新的猜想，是或然成立的，是學生創新能力的源泉；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算，通常是用來證明結論，這個結論是必然成立的，演繹推理體現了數學的嚴謹性。在小學數學教學中，合情推理和演繹推理兩者相互融合，筆者將從合情推理和演繹推理出發，并結合蘇教版小學《數學》五年級（下冊）《和與積的奇偶性》的教學實踐，談談如何培養學生的推理能力，提升學生的數學素養。

一、合情推理和演繹推理的認識

匈牙利數學教育家喬治·波利亞所著的《數學與猜想》中，首次將數學推理按其結論的可信程度分為兩類：論證推理和合情推理。論證推理就是我們所說的演繹推理，數學結論的證明要依靠論證推理，但是數學結論的發現和提出都要依靠觀察、實驗、類比、歸納等合情推理方法。喬治·波利亞的研究有效地拓寬了數學推理的范圍，但是他認為合情推理就是猜想，對合情推理的界定并不清晰。二十世紀末，匈牙利開始進行數學教育改革，近年來匈牙利學者呼吁要加強學生的數學推理能力的培養，他們認為應該從幼兒園到高中的每個階段在觀察的基礎上進行歸納、類比，得出猜想后再進行演繹推理的證明。

我國數學教育的主要優勢就是重視培養學生的運算能力、推理能力和空間想象能力，史寧中教授認為學習過數學與沒有學習數學的思維差異體現在數學的基本思想上，包括抽象、推理和建模，可見推理在小學數學教學中的重要地位。《數學課程標準（2011版）》把推理能力定位為十大核心概念之一，并對合情推理和演繹推理兩者的關系進行了解讀。由此可見，合情推理和演繹推理作為邏輯推理的兩種推理方式，在小學數學學習中都很重要。

二、《和與積的奇偶性》的教學實踐

1.運用歸納推理——提出或然的猜想

合情推理通常是指從特殊到一般的推理，主要的兩種推理方式包括歸納和類推。歸納推理可以按照歸納的對象是否完全分為完全歸納和不完全歸納。不完全歸納法是根據考查的一類事物的部分對象具有某一屬性，而做出該事物具有這一屬性的一般結論的推理方法。在學生猜想兩個數相加的和的奇偶性規律的時候，就是通過不完全歸納來進行教學。

片段一：

舉例：任意選兩個不是0的數，求出它們的和，再看看和是奇數還是偶數。

[加數 加數 和 和是奇數還是偶數 ]

觀察：觀察填好的表格，說說你的發現。

生：我發現和有的是奇數，有的是偶數。

師：什么時候和是奇數？什么時候和是偶數？

生1：我發現兩個偶數相加和就是偶數。

生2：我發現兩個奇數相加和也是偶數。

生3：我發現一個奇數加一個偶數和就是奇數。

師：這只是我們的猜想，請每組同學再舉一些例子來進行驗證。驗證之前，請想一想，要舉怎樣的例子呢？

交流不同位數的兩個數相加以及和的奇偶性。

……

這里其實考慮了加數的類型，是以不同的分類情況進行舉例，雖然沒有得到反例，但是這樣只能得到或然的結論。合情推理就是“發現——猜想”，學生寫出的算式是雜亂無章的，但這些不同的算式中蘊含著相同點，學生通過比較、分析、綜合等一系列思維過程，歸納出結論：“偶數+偶數=偶數、奇數+奇數=偶數、奇數+偶數=奇數”。

2.運用多種推理——證明提出的猜想

數學是嚴謹性的學科，根據有限數量的例子來說明“偶數+偶數=偶數、奇數+奇數=偶數、奇數+偶數=奇數”只是或然的結論，為了培養學生的科學精神，還是需要在學生能理解的基礎上進行演繹推理。

片段二：

師：我們舉了一些例子，比如兩位數加三位數，三位數加三位數等等，看是否符合我們的猜想，但是這樣就能夠一定證明這個結論是正確的嗎？請在小組內交流想法。

交流1：判斷一個數是奇數還是偶數只需要看這個數的個位，所以我們只要把所有兩個數相加的個位相加的情況列舉出來就能驗證猜想了。

交流2：之前已經學過用字母表示數，那么就可以用2a和2b來表示偶數，用2a+1和2b+1來表示奇數，2a+2b=2（a+b）還是偶數，（2a+1）+（2b+1）=2（a+b+1）結果是偶數，2a+2b+1=2（a+b）+1結果是奇數。

交流3：用畫圖的方式，可以進行證明。如下圖：

偶數：[……]

奇數： [……]

偶數+偶數：[……]+[……]

……

對不同水平的學生要有不同的要求，學生驗證的方法有很多，包括合情推理的不完全歸納，也可以通過數形結合、字母表達和完全歸納等。教師在教學時應滲透演繹推理的思想，提供豐富的路徑給予學生思考，即使學生不是所有都能理解，但是這樣的證明方式就像給了學生一扇窗，能讓學生有意識的進行有理有據的思考。

3.運用關系推理——探索和的奇偶性規律

在研究3個或4個及以上不是0的自然數相加，和的奇偶性的情況時，一般都是利用舉例驗證，通過不完全歸納來進行探索規律的。但是不完全歸納依然得到的或然的結論，因此在這樣的基礎上，應該給予學生更為深入思考的機會，如利用演繹推理中的關系推理完全可以進行證明。

片段三：

活動要求：

（1）任意選3個或4個及以上不是0的自然數相加，研究它們和的奇偶性。

（2）觀察：加數里有幾個偶數、幾個奇數，和是什么數？

（3）思考：和是奇數還是偶數，與加數中什么數有關系，有什么關系？

學生可以用老師所提供的表格舉例，也可以畫圖、文字形式、用字母表示數等來進行推理驗證。

在充足的自主探索時空中，學生有豐富的探索方法，但是教師還要引導學生利用已有的結論“偶數+偶數=偶數、奇數+奇數=偶數、奇數+偶數=奇數”進行關系推理。譬如，“奇數+奇數+奇數+奇數”，可以這樣思考，“奇數+奇數=偶數”，所以[“奇數+奇數 + 奇數+奇數 ”]就可以轉化為“偶數+偶數=偶數”。其他的多個數相加的和的奇偶性也可以這樣進行判斷。關系推理是演繹推理中非常重要的一種方法。在此基礎上，引導學生運用加法交換律將加數里的偶數和奇數分開，把所有的偶數相加，再把所有的奇數相加，可以發現多個數相加，和的奇偶性與加數中奇數的個數有關。

4.運用類比推理——提出新的猜想

和的奇偶性與積的奇偶性的探索方法是類似的，在探索和的奇偶性的規律之后，通過類比推理的方法，先讓學生猜想積的奇偶性的規律，即使猜想是錯的也沒有關系，學生就會經歷從猜想到驗證，再到結論的過程，帶著自己的思考進入下面的學習，讓學生真正成為學習的主人。當學生發現知識之間是存在聯系的，就會感受到自己多了一種本領，仿佛是發現了“新大陸”，助長了學習的信心。關系思維，是非常重要的一種思維。

片段四：

師：回顧探索和發現規律的過程，說說自己的體會。

生1：我知道了以后在解決復雜問題時，可以從簡單入手。

生2：我學到了可以用舉例的方法找規律。

生3：我還知道舉例之后，要找出他們的共同點才能有所發現。

生4：我認為除了舉例之外我們還要驗證，這樣才能知道我們找到的規律是否正確。

……

師：今天我們的主題是“和與積的奇偶性”，現在我們才解決了和的奇偶性的規律，如果讓你自己來探索積的奇偶性，你想怎樣做？

生1：我認為可以先探索兩個數相乘的規律。

生2：我認為需要舉很多例子，然后比較這些算式，找出相同點，就能發現規律了。

生3：我要提醒一下，有發現了之后，還需要進行驗證。

生4：我們可以繼續研究多個數相乘，找出規律。

……

師：通過今天的學習，類比“和與積的奇偶性”的規律，你們還有什么猜想嗎？

……

通過《和與積的奇偶性》的教學實踐，我認為合情推理和演繹推理是互為補充的，歸納和類比是演繹的基礎，為演繹提供條件；演繹是歸納和類比的前提，為歸納和類比提供理論依據。在小學數學教學中，應該提倡合情推理和演繹推理并重，將兩者相互融合，從而培育學生的創新精神和嚴謹精神，提升學生的數學素養。

（作者單位：江蘇省常熟市練塘中心小學）