淺談極限概念的講解與求解極限的幾種方法

劉鐵宏

[摘 要] 極限的概念是為求某些實際問題的精確解而產生的。很多實際問題的精確解僅通過有限次的運算是求不出的，而需要一個無限變化過程，由此產生了極限的理論與方法。極限是高等數學中最基本的概念，理解好極限概念是學習微積分的基礎，只有掌握好函數與極限的基本知識，才能學好函數的連續性、導數、積分等內容。主要討論極限概念的講解以及求極限的常用方法。

[關 鍵 詞] 極限概念；極限思想：極限求解

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）06-0149-01

極限理論和方法是研究微積分學的基本理論和方法，它是把無限與有限，運動與靜止，量變與質變聯系起來的一種數學方法，掌握好極限的思想方法是學好微積分學必備的基本功。因此，極限概念是一個極其重要的數學概念，也是一個不太好理解的數學概念，因為一方面是其定義用語抽象，另一方面，極限是用運動的觀點來研究事物變化狀態的。這對于習慣用靜止的和孤立的觀點學習數學的學生來說可能感到困難。因此在教學中應注意把極限的概念具體化，把求解極限的方法進行歸類。

一、利用極限思想的廣泛應用激發學生學習的積極性

極限思想在我國有著悠久的歷史和十分廣泛的應用。早在魏晉時期，數學家劉徽建立了“割圓術”，用已知的可求的正多邊形的面積來無限逼近未知的、要求的圓的面積，使“有限”轉化為“無窮”，這就是極限思想的產生。極限思想的產生在我國源遠流長，極限思想被應用到各個領域中。積分學中的定積分、廣義積分；繪圖中的函數曲線的漸近線；物理學中的變力做功、液體壓力、轉動慣量等；經濟領域中的市場學，如商品（不做廣告）銷售額衰減的規律是隨時間t→∞，單位時間內的銷售額R（t）→0，這是個嚴酷的事實，如儲蓄問題中的復利計算、人口增長、林木的生長、固定資產的折舊、菌類的繁殖等都是遵循某個極限規律的。通過對這些應用的介紹，一定程度上激發了學生學習的積極性。

二、對極限概念的講解盡量做到具體化

極限的定義很不好理解，畢竟這是學生第一次接觸抽象的運動理論，因此利用貼近學生生活的案例來講解會更能讓他們理解。如美國影片《生死時速》中，當汽車的速度越接近50千米每小時，汽車上的乘客離死亡越近。對于這個內容，學生還是相當能夠理解的，在此基礎上我們再給出極限的定義以及極限中

兩個變量的關系。另一方面也可以采取從個別到一般，從簡單到復雜的歸納法講述極限定義：（1）按字意做正面分析，如“無限增大”，“無限接近”，“確定的常數”等都要分別解釋清楚；（2）做幾何圖直觀解釋，即通過數軸和圖像來解釋極限的含義；（3）做反面剖析，舉一兩個極限不存在的例子，然后緊扣極限的定義進行分析，以進一步理解極限的實質。這三個層次的講解是相互協調的，不能機械地進行。通過這些現實和集合直觀性幫助理解和分析，使學生對極限的概念有了深刻的理解和認識，也解決了這次課的教學難點。

三、歸納求解極限的方法使之系統化

（一）利用函數的連續性求極限

如果一個函數是連續的，那么這個函數的極限值就等于它在那一點處的函數值。

例1.■（■x2-2x+1）

解：∵函數y=■x2-2x+1是連續的

∴■（■x2-2x-1）=■×52-2×5+1=-4

（二）利用極限的四則運算法則求極限

例2.■■

解：■■=■■=■（x-1）=2

（三）利用無窮小的性質（無窮小與有界函數的乘積是無窮小）求極限

例3.■xsin■=0（因為■x=0，sin■≤1）。

（四）利用無窮小與無窮大的倒數關系求極限

1.■■=■■=■=■=0

2.求■■

因為■■=0

所以■■=∞

四、結語

本文從極限概念的講解入手，利用函數的連續性、極限的四則運算法則、無窮小和無窮大的性質以及變量代換的方法給出幾種求極限的方法，對學生掌握極限的求法有一定的幫助。

參考文獻：

李娜.高等數學極限概念引入探究及極限求解方法[J].大學教育，2014（4）：60-63.