抓好解題后的反思 培養良好思維品質

袁愛珍

抓好解題后的反思是 培養良好思維品質不可缺少的重要環節，通過反思題目特征培養思維的深刻性；結合反思解題思路培養思維的廣闊性；深入反思解題途徑培養思維的批判性；探討反思題目結論培養思維的創造性；熟悉反思解題過程培養思維的敏捷性；尋求反思題目條件特點培養思維的靈活性。

當前，我國的基礎教育正從應試教育向素質教育轉軌。這就要求教師能把學生從題海中領出來，為此，就必須提高學生的解題能力。要提高學生的解題能力，除了做好審清題意、制定解題計劃、實現解題計劃等工作之外，解題后的反思也是一個不可缺少的重要環節。

所謂解題后的反思是指在解決了數學問題后，通過對題目特征、解題思路、解題途徑、題目結論等的反思來進一步暴露數學解題的思維過程，從而開發學習者的解題智慧，以達到事半功倍的效果，及培養學習者思維品質的目的。

下面是筆者的一些做法和看法：

一、反思題目特征，培養思維的深刻性

思維的深刻性表現在能透過表面現象和外部聯系，揭露事物的本質，進而深入地思考問題。解完一道題后，通過反思題目特征，加深對題目特征的本質領悟，從而獲得一系列的思維成果，這有助于培養思維的深刻性。

例1 已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一定點，則過P點且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有（ ）

A.1條 B.2條 C.3條 D.4條

解：過P作直線a′∥a，b′∥b，則由已知可得a′和b′所成的角是50°和

130°。記a′和b′和所確定的平面為β。那么，在β平面內，過點P不存在與

a′、b′都成30°的直線。過點P且與a′、b′都成30°的直線，必在平面外，且在β內的射影必平分a′、b′所成50°的對頂角，這樣的直線有且僅2條，它們關于平面β對稱。所以，過點P與a、b都成30°的直線有且僅有2條。

反思：在本題中，50°和30°的設置對答案起著重要的作用。因此，可通過改變50°和30°的大小來深化對這一類題目的理解。如：

（1）若將30°改為25°，其余條件不變，則答案為（ ）。

（2）若將30°改為65°，其余條件不變，則答案為（ ）。

（3）若將30°改為70°，其余條件不變，則答案為（ ）。

（4）若將50°改為x°，30°改為y°，且答案為A，則x、y的關系式為 ；若答案B，則的x、y關系式為 ；若答案C，則x、y的關系式為 ；若答案D，則x、y的關系式為 。

二、反思解題思路，培養思維的廣闊性

思維的廣闊性指能從眾多的知識領域和多方面的知識出發來解決問題，是思路開闊而全面的品質。解完一道題后，應考慮能否根據該題的基本特征與特殊因素，進行多角度的觀察、聯想，找到更多的思維通路，這有助于培養思維的廣闊性。

例2 已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，

GC⊥平面AC，GC=2。求點B到平面GEF的距離。

解：連結BD、AC，AC和BD相交于O，

AC和EF交于H，連結GH，如右圖所示。

由已知條件易得出EF⊥AC，EF⊥GC，

所以EF⊥平面GHC，

所以平面GHC⊥平面GEF。

∵BD∥EF，∴BD∥平面GEF。

∴BD和平面GEF的距離就是點B到平面GEF的距離。

過O在平面GHC內作OK⊥HG，垂足為K，則OK⊥平面GEF，所以OK的長就是點B到平面GEF的距離。

由已知可求出 ， 因為 和 有一個銳角是公共角，所以△HKO∽△HCG，所以，

。

從而B到EFG的距離是 。

反思：上面的解法是把點面距離轉化為線面距離。我們也可考慮把點面距離轉化為面面距離。這便得出思路2：在CG上取點P，使CP=2PG，連結PD、PB。可以證明平面PDB∥平面GFE。這樣，平面PDB和平面GEF的距離就是點B到平面GFE的距離。

點到平面的距離又可看作是三棱錐的高。這就啟發我們還可利用體積法來解決本題。由此又得出思路3：因為 ，所以 。故只需求出 、 、GC的值，就能計算出h，即得到B到平面GFE的距離。

三、反思解題途徑，培養思維的批判性

思維的批判性是指在思維活動中獨立思考，精確檢查思維過程，有根據地作出肯定接受或否定質疑的品質。在解完一道題后，反思哪些過程可以合并或轉換，這樣的反思，有助于縮短解題長度，從而培養了思維的批判性。

例3 方程 的解是 。

解：去分母，得

即 ，

兩邊乘以 ，得關于 的二次方程

，

分解，得 ，

因為 ，所以 ，

解得 。

反思：上面的求解過程中，最能產生實質性進展的是兩邊乘以 處理負指數這一步，去分母和移項整理這兩步只起轉換作用，而且兩邊乘以 對于是否去分母都是可以施行的，抓住了這一實質，直接對原式處理負指數，可得如下的較優解法。

另解1.兩邊乘以 ，有

，

即 ，

。

再進一步分析另解1可看出，它實質上揭示了分子、分母間有公共的式子，可以相約，所以想到變乘以 為提取 ，得如下的更優解法。

另解2.原方程變形為

。

所以，

。

四、反思題目結論，培養思維的創造性

思維的創造性是指在思維活動中，能以獨特的心理操作方式來展開思維，是其思維成果新穎，與眾不同的品質。在解完一道題后，應思考根據此題要求解的結論，能否從其它的角度重新審視題目，得出更加簡捷優美的解法，這樣的反思，有助于培養思維的創造性。

例4 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元；若購甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元；現在購甲、乙、丙各一件共需多少元？

解：設甲、乙、丙的單價分別為 ，由題意，得

①×4—②×3，得

，

∴

把 代入②，可得

，

∴ ，

故購甲、乙、丙、各一件共需1.05元。

反思：上面的解法是采用主元法（視 ）。若重新審視題目的結論是求 的值，啟發我們在①和②中出現 ，并把它作為一個整體來處理，從而得出如下的新穎途徑：

將原方程組變形為

這可看作關于 的一次方程組，從而可求得 。

五、反思解題過程，培養思維的敏捷性

思維的敏捷性是指思維過程中的簡縮性和快速性。具有這一品質的學生能縮短運算環節和推理過程，“直接”得出結果。

運算過程或推理過程的縮短，表面看來好像沒有經過完整的推理，其實它還是有一個完整的過程的。

例5 在講完“一元二次方程”一章以后，上了一節綜合練習課，其中編擬了一道題目：解方程

編擬這一題目的主要意圖在于利用代換 ，將原方程變形為 。這樣既能復習無理方程轉化為有理方程的思想，又復習換元法、求根公式和根式運算等知識。

反思：在上面的解題過程中，是按照常規的將無理方程轉化為有理方程的解題方法。如果不按“常規”的解法去做，這道題卻有一個“非常規”的簡捷解法：如果 ， ，那么原方程的兩邊就相等，由此可知 滿足這個要求。而當2≤ <4時，2 <8， < ；當 >4時，2 >8， > ，從而得出，除了 外，原方程沒有其他的根。

這里，幾乎是通過觀察方程的特征而“直接”獲得的；除外，方程沒有其他的根，是通過簡縮的運算過程和推理過程

獲得的。所以，這種“非常規”解法可以認為是思維敏捷性的表現。

克魯切茨基（V.A.Krutetskii）的研究表明，推理的縮短取決于概括，“能‘立即進行概括的學生，也能‘立即進行推理的縮短”。可以通過練習，提高學生思維的概括性，從而提高思維的敏捷性。

六、反思題目條件特點，培養思維的靈活性

思維的靈活性是指思維活動的靈活程度，主要表現為具有超脫出習慣處理方法界限的能力。即一旦所給條件發生變化，便能改變先前的思維途徑，找到新的解決問題的方法。學生思維的靈活性主要表現為隨新的條件而迅速確定解題方向；表現為從一種解題途徑轉向另一種途徑的靈活性；也表現為從已知數學關系中看出新的數學關系，從隱蔽的形式中分清實質的能力。

例6 當 為何值時，直線 被曲線 所截得的線段之長為 ？

一般的解題思路是：將直線方程代入曲線方程，求出它們的交點坐標（或坐標之間的關系），再借助韋達定理和距離公式來解。（解：略）

反思：注意題目的條件給出的曲線是圓，圓的半徑為 ；直線 被圓截得的弦長為 ，即為圓的直徑。于是， 必須通過圓心，所以 。

思維靈活性的反面是思維的呆板性，或稱心理惰性。知識和經驗經常被人們按著一定的、個人習慣的“現成途徑”反復認識，這就產生了一種先入之見，使思維傾向于某種具體的方式和方法，使人在解題過程中總是遵循業已知道的規則系統——這即是思維的呆板性。

思維的呆板性是發明和創造性活動的極大障礙。思維的呆板性是部分學生思維的特點，表現為片面強調解題模式，缺少應變能力。

例7 解方程 。

許多學生用求根公式或用十字相乘法因式分解來解。（解：略。）

反思：注意到題目的條件中624與625（5的平方）差1，所以這道題有下面的解法：

原方程變形為： ，

所以有 ，

兩邊開平方，得 ，或

所以， 。

當然，許多學生固有的思維的呆板性也有好的一面，即在解同一類問題時，他們可不必重新安排解題程序。教師的主要任務是幫助學生克服“呆板性”的消極的一面，及時地讓他們了解新的情況下新的解題途徑。

進行解題后的反思，能培養學生思維的品質，這就要求教師在教學中要有計劃、有意識、有目的地引導學生進行解題后代反思，以提高學生的解題能力。

（作者單位：福建省南平市武夷山一中）