一類SIR和SIS組合的復雜金融網絡風險傳染模型穩定性分析

劉曉宇 呂 琳

（哈爾濱金融學院，黑龍江 哈爾濱 150030）

引言

網絡理論是數學理論的一個分支，具有拓撲性質。如果網絡中存在多主體節點，且可以演化成為多種不同的網絡結構，這種網絡稱為復雜網絡。網絡可以準確描述金融市場之間復雜關系，網絡中所有節點通過各種金融關聯相互連接起來，這種金融關聯直接反映金融各個節點之間的風險?；趶碗s網絡的金融風險分析能夠研究不同風險蔓延，可以清晰地分析金融市場風險蔓延趨勢，直接而形象地刻畫出金融系統內在聯系，并在此基礎上分析金融市場之間的互動與關聯。由于復雜網絡在描述市場間的關聯結構和投資者間交互作用具有明顯優勢，越來越多的學者將其引入金融領域研究風險傳染問題。Allen等研究銀行間市場風險傳染問題[1]。May等認為傳染病的傳播和金融風險的傳染非常相似，Garas等將傳染系統動力學SIR傳染模型應用于金融危機在世界各國間擴散的研究，說明金融風險研究進入新階段[2-3]。Allen等認為不完全市場結構造就易感群體，發現市場結構越完全，風險越容易阻斷傳染[4]；Gao運用復雜網絡系統工程理論構建銀行網絡SIR模型，得到風險傳染閾值[5]。Demiris等運用貝葉斯估計方法研究金融危機擴散SIR模型，考慮國家金融聯系和貿易聯系，發現推行降低金融系統脆弱性政策有助于減緩危機的擴散[6]。Toivanen構建銀行間同業市場風險傳染SIR模型，將傳染概率設定為離散的比值[7]。李守偉借助傳染病思想建立銀行風險傳染的隨機模型，發現增加治理率和降低關聯度可以有效減少風險的傳染[8]。馬源源運用SIR模型模擬股市危機擴散過程，給出股市危機擴散模型計算方法[9]。鑒于此，本文將傳染病動力學和復雜網絡理論有機結合，建立一類SIR和SIS組合的金融市場風險傳染系統動力學模型，分析模型平衡點存在性和穩定性，確定金融風險傳染閾值R0。

一、模型建立

（一）研究假設

金融系統中不同市場抗風險能力不同，各個子市場被風險傳染后，其中部分節點子市場能夠通過有效防范對策對風險永久免疫；恢復為風險免疫子市場，另一部分節點子市場在被風險傳染后，沒有及時有效控制，因而無法形成對風險的免疫，再次進入風險暴露子市場。

（二）模型構建

借助于傳染病模型[10-11]構建一類SIR和SIS組合的金融市場風險傳染系統動力學模型，變量和參數設定如下：

在金融網絡中將網絡節點為三個類別，即S（t），I（t），R（t）。

S（t）為風險暴露子市場，表示t時刻尚未被傳染，但缺乏風險防御能力且容易被傳染風險的子市場節點數量，在風險傳染中起到主導作用；

I（t）為風險感染子市場，表示t時刻已被風險傳染的且可將風險傳染給其他子市場節點數量；

R（t）為風險免疫子市場，表示t時刻在金融市場風險傳染過程中具有免疫能力的子市場節點數量；

N（t）表示t時刻金融網絡各子市場節點的總量，A表示單位時間內各子市場節點增加的數量；d表示子市場退出率；由于各個子市場的參與主體、業務類型和監管規則等存在差異，各類子市場抗風險能力不同。設在單位時間內由I（t）子市場進入S（t）子市場節點的數量在I（t）子市場節點中所占比例為c，稱為無免疫易感率。r表示移出率，也稱風險管理系數，β表示各個節點子市場之間風險傳染概率，風險暴露子市場與其他子市場的接觸率為f（S），由于風險只能傳染給風險暴露的子市場，故有效接觸率為βf（S），為非線性傳染率，因此t時刻新增風險傳染的子市場數量為βf（S）I（t），假設A，d，α，r，β均是正常數。由此建立一類SIR和SIS組合復雜金融網絡風險傳染模型：

由模型可得t時刻S（t），I（t），R（t）子市場節點數量滿足的微分方程為：

模型（1）的基本假設

①f（S）滿足在S≥0上是一個非負不減連續函數，且f（0）=0。在S≥0上連續可微，f'（S）＞0；

②基于模型（1）的金融學意義，S（t），I（t），R（t）均為非負。

將模型（1）的三個方程相加可得出金融網絡各子市場節點總數量N（t）滿足方程：

由比較原理可知 ?T＞0，當t＞T時，N（t）≤A/d。因此從模型（1）出發的解將最終進入或停留在D?R3+

其 中D={（S（t），I（t），R（t））∈R3+|0 ≤S（t）+I（t）+R（t）≤A/d，S（t），I（t），R（t）≥0}

D是模型（1）的正向最大不變集[12]。

二、模型平衡點的存在性和穩定性分析

（一）平衡點的存在性分析

模型（1）的前兩個方程不含R，所以可從前兩個方程研究S，I的性態，若要了解R的性態可再由模型（1）第三個方程討論。

性質1模型（3）總有非零平衡點（A/d，0，0）；當R0＞1且A＞dS*時，模型（3）除存在無風險平衡點P0外，還存在非零風險平衡點P*（S*，I*）。

（3）有唯一正平衡點，由（3）求得模型（3）的平衡點應滿足下列關系式：

（二）無風險平衡點P0的穩定性分析

性質2 當R0≤1時，模型（3）無風險平衡點P0全局漸近穩定；當R0＞1時，P0不穩定。

證明：考慮Liapunov函數V（t）=I（t）

將V（t）關于模型（3）對t求導

（三）非零風險平衡點P*的穩定性分析

性質3 當R0＞1且A＞dS*時，模型（3）的非零風險平衡點P*全局漸近穩定。

證明：考慮Liapunov函數

其中g（x）=βf（S）-（d+c+r），由模型的基本假設可知g（x）是單調遞增函數，且f（S*）=0，c1，c2是正常數，故V（S（t），I（t））≥0當且僅當S=S*，I=I*時V（S（t），I（t））-0。

將V關于模型（3）對t求導

因為c2＞0（βf（S*））＞c，

由（3）式的第二個方程可知：

又因為

所以

三、結論

四、控制金融風險的對策建議

（一）構建健全風險預警機制和管控機制

構建風險預警機制，需要選取能夠反映金融市場風險影響的內外部潛在因素指標，構建高度關聯的子市場風險監測指標體系，根據指標變動情況識別風險。目前，數字經濟帶來新的風險，應更新風險管理工具，利用金融工程方法、人工智能技術、機器學習算法和統計分析方法建立新型風險預警模型。當金融市場外部環境發生改變，會改變風險的發生概率和損失程度，引起指標變動即可預警風險。除構建風險預警機制，防范金融風險的第一道防線是金融市場內部風險管控機制。一般來說，短期內金融市場風險容易隱藏，但中長期來看，積累金融風險會越來越大，蔓延整個金融體系，以短期內金融市場風險防控非常重要，但目前我國防范及控制金融風險時卻忽略了這一點。因此，對各類子市場實時監測預警，對預警機制實行管理，同時對金融市場中異常交易重點監測，可有效預防風險發生和惡化，縮小風險傳染范圍。

（二）建立有效的風險隔離機制

一些子市場關聯度較高，即模型（1）中的βf（S）較大，當一類子市場感染風險后會立即傳染給其他子市場。因此，當個別子市場感染風險后，要建立有效的風險隔離機制，防止風險進一步蔓延和傳遞，風險隔離機制可有效地控制風險引起的連鎖反應，降低各類子市場之間的風險傳染概率，從總體上減少風險造成的損失程度。要重視識別可影響金融主體的潛在風險，管理風險以使其在該主體的風險偏好之內，并為主體目標的實現提供合理保證。此外，還可考慮將風險隔離機制逐級延伸覆蓋至鄉鎮、街道乃至社區、村委，建立多層次的金融風險隔離機制，在全國率先實現金融風險防控全覆蓋。

（三）優化金融監管體系

金融監管是防范和化解金融風險的必要條件，模型（1）風險管理系數r主要與子市場風險防范和金融監管部門監管力度相關。監管部門力度越大，越有利于風險防控。監管目的是防范金融風險，同時兼顧培育金融市場，鼓勵金融創新和制度創新，監管部門通過建立健全監管制度，優化金融監管體系，監督金融機構的經營活動，降低和控制金融體系風險。金融監管體系構建，要結合金融發展的實際。目前互聯網金融在金融體系中發揮著越來越重要的作用，各種互聯網+金融已經遍布金融領域，優化金融監管體系，要結合目前金融風險新特點。我國目前尚無風險管理的創新經驗，可選擇與互聯網金融風險防范能力較強的國家和機構合作，優化金融監管體系，促進金融市場健康有序發展。除此之外，優化金融監管體系要利用網絡技術，按照匹配性、全覆蓋、獨立性和有效性原則，建立健全全面風險管理體系，加強金融市場外部監管。利用網絡技術對金融市場的各類參與者及其融資、交易活動及對市場運行的組織、協調和監督措施等全面監管。同時通過金融風險監管體系，對各類金融風險，強化功能監管，協同分業監管。

（四）完善金融法制法規

隨著網絡技術的普及及發展，金融風險呈現隱蔽性、復雜性及擴散性特點，除有效預警機制、風險隔離機制以及金融監管體系，還需要與之配套的金融法制法規規避和管理金融風險。首先，細化金融監管機構的法律責任，金融監管機構的考核內容和責任要更加細化，明確規定相應處罰獎勵措施。其次，完善金融監管法律，隨著經濟的發展，金融創新層出不窮，但與之配套的相關監管法律法規相對滯后。此外，金融機構內部也應建立完善的風險規避制度。從內部控制入手，建立相應制度獨立負責金融風險預防和控制，及時發現風險并加以防范。

參考文獻：

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