小球在粗糙斜面上的一般運動

吳 洵

(鄱陽中學 江西 上饒 333100)

黃亦斌

(江西師范大學物理與電子通信學院 江西 南昌 330022)

物體在粗糙斜面上的運動是一種常見的討論內容．如果物體是滑塊，那么它將受到滑動摩擦力；如果是小球，那么摩擦力既可能是滑動摩擦力，也可能是靜摩擦力，從而可討論的內容較為豐富．但針對小球的討論幾乎都是在平面平行運動(在斜面內沿“最斜”方向的一維運動)范圍內進行，鮮見針對斜面內二維運動的討論．本文就此做一般論述．

首先假定：

(1)小球的質量分布是球對稱的，繞質心軸的轉動慣量為I=kmR2，其中k為無量綱的常數(決定于小球的質量分布狀況)，m為小球質量，R為其半徑；

(2)忽略靜摩擦系數與滑動摩擦系數的差別，設它們都是μ；

(3)小球在斜面上沒有蹦跳，一直緊貼斜面．

1 一般討論

如圖1建立直角坐標系．小球受支持力N=Nk，重力G=mg和摩擦力f，其中重力加速度g=g1+g2，g1=-g1j=-gsinαj，g2=-g2k=-gcosαk．由質心運動定理，有

N=mg2=mgcosα

和

(1)

由對質心的角動量定理，有

(2)

圖1

其中R=-Rk從球心指向觸地點D．由于摩擦力只是跟小球觸地點的速度有關(與質心速度無直接關系)，故還需要觸地點D的速度公式

vD=vDet=vC+ω×R

(3)

其中et為vD方向的單位矢量，vD非負．對于有滑滾動，有vD≠0，且滑動摩擦力的方向永遠跟vD的方向相反，有

f=-μNet=-μmg2et

(4)

對于無滑滾動，有vD=0，且靜摩擦力存在最大值

f≤μN

(5)

以上就是計算的出發點．

在進一步進行具體討論之前，我們先導出vC與vD的一般關系式．R×(1)-(2)，消去f，得

(6)

而式(3)求導(注意R是常矢量[1]，因為任意時刻都只關心觸地點D)，可得

(7)

(8)

故一般而言，vC與vD無確定關系，但它們的改變有確定的關系．

2 無滑滾動

先討論簡單情形：小球保持做無滑滾動．由于恒有vD=0，故由式(8)得

(9)

即小球的質心加速度沿斜面向下且恒定．故有

(10)

但由于質心初速度vC0方向在斜面內任意，故此時小球的一般運動是拋物線運動．把式(9)代入式(1)，可得

(11)

這是一個常矢量．關系式(5)進一步給出

(12)

這就是無滑滾動對系統參數的要求．下文將看到，參數λ對小球運動有重要影響．摩擦系數μ越大，斜面傾角α越小，小球質量分布越集中于球心(k越小)，則λ越大，就越有利于無滑滾動的出現．

對于小球的角速度，把式(11)代入式(2)，得到

(13)

故角速度的y,z分量ωy,ωz守恒，而ωx隨時間均勻變化．而由式(3)和vD=0，可以得到

vC+ω//×R=0

(14)

其中ω//是角速度的平行分量(x，y分量)．這就是說，無滑滾動條件對角速度的垂直分量ωz沒有限制，但對其平行分量(特別是其初值)提出了要求

(15)

故而，小球做無滑滾動時，ωz任意且守恒，ωy受約束且守恒，而ωx也受約束，且隨時間做線性變化．

作為無滑滾動的一種特殊情形，由式(10)，如果vC0沿y方向，則小球(即小球質心)會一直沿y方向做勻變速直線運動．但這并不一定就是平面平行運動，因為此時只有ωy=0[見式(15)]．當ωz=0也滿足時，小球才做常見的平面平行運動．

當式(12)滿足時，若初始時vD=0，則此后小球將一直做無滑滾動；若初始時vD≠0，則小球將先做一段有滑滾動，直至vD=0時進入無滑滾動．但當式(12)不滿足時，即使初始時vD=0，此后小球也將做有滑滾動，vD變得不為零．故此時小球在整個運動過程中至多在某一瞬間滿足vD=0，不可能出現在某段時間內維持vD=0的情況．

3 有滑滾動

以下一般性地討論有滑滾動．此時由式(1)和式(4)，得

(16)

(17)

其中常數λ見式(12)．這就是觸地點速度滿足的方程．將其沿如圖1(b)所示的vD方向et和在斜面內與其垂直的方向en做正交分解，得

(18)

兩式消dt，得

兩邊積分，設vD,θ的初始值分別為vD0,θ0(vD0≠0且θ0≠0,±π)，則

(19)

注意，θ和θ0必須同正同負，處于(-π,0)和(0,π)這兩個不連通分支中的同一支．將式(19)代入式(18)中的任一式，都可得到

(20)

上式兩邊積分(設λ≠1)，有

(21)

式(20)表明|θ|隨時間t單調增加，而式(19)給出vD隨θ或|θ|的關系：vD∝f(θ)．分析函數f(θ)本身，或作出其圖像(圖2)，可以得到，f(θ)=0的充要條件是λ>1且|θ|=π．故而，僅當系統參數λ>1[見式(12)]時，小球才能經過一段時間后進入無滑滾動狀態(vD=0)．把|θ|=π或f(θ)=0代入式(21)，得到有滑滾動的持續時間為

(22)

若λ<1，則小球永遠做有滑滾動，而vD依初始條件的不同或先變小后變大，或一直變大，且終將無限增大(只要斜面的尺度足夠)．對于λ=1的臨界情形，其討論意義不大，從略．

圖2 函數f(θ)的圖像，其中θ以弧度為單位

下面討論小球的運動軌道．首先要指出的是，分解式(18)所使用的兩個正交方向并非小球軌道的切向和法向．后者決定于vC，而vC不同于vD(故而摩擦力的方向與軌道的切向無直接關系)，這在圖1(b)中已明確畫出．式(19)～(21)給出了vD的詳盡信息，于是由式(8)也就可以得到vC的詳盡信息，從而可以得到小球軌道．具體地，式(8)給出

取其直角分量，有

λ+(1+k-kλ2)cosθ0]

-[4(λ2-1)-(kλ2-k-2)

(23)

其中，xC中的η=sign(θ)=sign(θ0)是θ0,θ(二者同號)的符號函數，即當θ>0時η=1，而當θ<0時η=-1．它的出現很容易理解：當初始條件vC0x,θ0都反號而vC0y不變時，兩條軌道顯然關于y軸對稱，故需要xC也反號．η就保證了這一點．

圖3 小球的質心軌道

4 一些特殊情形

(1)vD0沿y軸負方向，即vD0≠0且θ0=π．此時，小球一直保持θ=π(除非vD=0使得θ無定義)．式(18)給出

(24)

故有

vD=-j[vD0+(1-λ)g1t]

(25)

式(8)給出

(26)

故一般而言小球在斜面上做拋物線運動(以沿y軸方向的勻變速直線運動為特例)．若λ<1，則式(25)表明vD一直增加，小球一直做有滑滾動，會如上所述一直運動下去．若λ>1，則經過一段時間后vD=0．此后小球一直做無滑滾動，由式(9)～(10)所描述．

(2)vD0=0，這使得θ0無意義．此時，若λ>1，則小球一直保持vD=0而做無滑滾動．若λ<1，則可以先假設沒有摩擦，即令式(17)中λ=0，于是極短時間后vD沿g1方向，于是et也沿g1方向．此時恢復摩擦，式(17)給出同情形(1)一樣的結果．小球的運動軌跡一般而言也是拋物線．

(3)vD0沿y軸正方向，即vD0≠0且θ0=0．此時，小球至少在開始后的一段時間內保持θ=0．式(18)給出

(27)

式(8)給出

(28)

(注意此時g1=-g1j=-g1et)式(27)說明，經過一段時間后一定會出現vD=0．此后的運動已由情形(2)給出．一般而言，不論λ如何，前一階段(有滑滾動)的軌跡與后一階段(無滑滾動或新的有滑滾動)的軌跡不是同一條拋物線．

(4)α=0，即斜面其實是水平面．此時

g1=0λ→

(29)

小球最終一定做無滑滾動．式(17)變為[1]

由于dvD=d(vDet)=etdvD+vDdet，而et⊥det，故上式給出det=0和

(31)

于是，vD的方向不變，而大小隨時間線性減小．由式(30)和式(8)可求出

aC=-μget

(32)

故而小球一般而言也是做拋物線運動，且其質心加速度的方向決定于初始時vD0的方向．由式(31)得到，經過時間

(33)

后，小球轉為無滑滾動．此后，式(9)給出aC=0，即小球做勻速直線運動．式(32)亦可由式(16)、(26)或(28)得到，而式(33)也可由式(22)得到，只要考慮到條件式(29)即可．

(5)yz平面中的平面平行運動，這是最常見的情形．此時，ωy=ωz=0，即角速度只有x分量，而小球上任一點的速度只有y，z分量．前面的無滑滾動和上面的情形(1)～(4)都存在這種特殊情形，其討論皆對此情形成立，只要再加上“vD0,vC0都沿y方向”的條件即可．

5 小結

本文從剛體力學出發，研究了粗糙斜面上小球的一般運動(質心做二維運動，球體本身做三維轉動)．研究表明，系統(斜面與小球)存在一個參數 ，它對小球的運動(無滑還是有滑滾動)有決定作用．無滑滾動時的一般軌跡是拋物線，而有滑滾動時的一般情形則要更復雜，本文給出了其理論分析和質心運動軌跡圖也分析了一些特殊情形還指出了一些易混淆之處，如，摩擦力的方向與軌道的切向無直接關系，小球沿最斜方向運動時并不一定做平面平行運動．

參 考 文 獻

1 馬爾契夫.理論力學(第三版).李俊峰譯．北京：高等教育出版社，2006.287