溯本追源揭秘數列

摘要：在數學學習中，對知識的理解要遠比對知識的掌握重要，只有深刻的理解所學的知識，才能完全掌握知識，才能靈活自如的運用知識。然而，數學又是抽象的，不像物理、化學等學科可以通過直觀的實驗進行學習。因此在數學學習中，學生只有了解了相關知識的來龍去脈，才能夠順利的將知識融會貫通，并同化到自己的知識結構中。

關鍵詞：數列；通項公式；函數思想

英國學者P.歐內斯特說：“數學教學的問題并不在于教學的最好的方式是什么，而在于數學是什么……”可見，對于數學教學者來說，掌握數學本質，了解數學是什么至關重要。通過分析各種數學研究可以看出，數學本質不僅包括隱藏在客觀事物背后的數學知識和數學規律，還包括隱藏在這些數學知識、規律背后的本質屬性。另外，數學本質還涉及統攝具體數學知識與技能的數學思想方法。在數學教學中，教師要學會引導學生正確認識數學本質，引導學生了解數學知識的形成和發展過程，從而讓學生更好的感受隱藏在數學知識背后的思想和方法，使學習達到事半功倍的效果。

然而在實踐中，我發現，大部分教師只傾向于知識的灌輸，不重視對學生的引導，導致學生無法真正理解知識，進而無法靈活運用數學知識解答問題。本人不禁思考：教學過程中，教師應該進行如何溯本追源呢？

本人認為，在課堂的教學中教師要引導學生從追求“是什么”“為什么”“相同點”“精華處”的過程中，尋找數學的本質。下面結合本人在教學中碰到的問題談談如何圍繞數學本質進行設計并開展教學。

問題1：已知等差數列{an}中，a2=4，a4+a7=15，

（1） 求數列{an}的通項公式；

（2） 設bn=2an-2+n，求b1+b2+b3+…+b10。

該題是在一次學校高三第一輪復習后統考的一個解答題，大部分學生的解答情況如下：

學生解答：（1） a4+a7=a2+2d+a2+5d=2a2+7d=15

∵a2=4，代入上式得8+7d=15，∴d=1

∴an=a2+（n-2）d=4+（n-2）=n+2

（2） bn=2n+n

∴b1=3，b2=6，b3=11，b4=20，b5=37，……

大部分同學都是上面的解答，解到一半沒能繼續下去，有極個別同學能算到b10并求出最后正確的答案。

學生為什么會出現這樣的情況，究其原因，學生對數列的通項公式并沒有真正的理解，只是知道等差、等比數列的通項公式，并沒有真正深入的掌握數列通項公式的本質。更為嚴重的是，許多教師并沒有主動引導學生深入探究思考通項公式的本質，致使學生只能從表面上理解數列通項公式，做不到真正的融會貫通和靈活運用。

一、 異中求同，尋通法

本人認為，解題教學中的本質是不同題目之間的相同點。教師在進行解題教學時，不能僅僅局限于題目本身，教會學生解題方法，而是要引導學生觀察、思考不同題目，從而發現不同題目中蘊含的相同點。這樣的教學方式，不僅鍛煉激活了學生的思維，而且還能幫助學生抓住一類問題背后蘊藏的數學本質，進而自如應對不同的問題，達到“授人以魚不如授人以漁”的教學效果。

等差數列通項公式為an=a1+（n-1）d，而決定等差數列的兩個基本量為a1和d，等比數列通項公式為an=a1·qn-1，決定等比數列的兩個基本量為a1和q，如果我們在教學中真正落實了學生對兩個基本量的理解。那么對于（1）中的問題，可以采用兩個基本量來解，如下：

a2=a1+d=4（1）

a4+a7=a1+3d+a1+6d=15（2）

由（1）（2）兩式解得a1=3

d=1，∴an=n+2

這樣的解法就抓住了等差數列的兩個基本量a1和d，采用方程的思想解決這一問題。

如：1. 在等差數列{an}中，a1+a2=40，a4+a5=60，求a5+a6。

2. 在公差d≠0的等差數列{an}中，已知a1=4，且a1，a7，a10成等比數列，

（1） 求等差數列{an}的通項公式；

（2） 求以a1，a7，a10為前三項的等比數列的前n項和。

我們都可以采用基本量法，轉化為方程組的辦法來解決。

再如：（3） 在等差數列{an}中，a3+a8=10，求3a5+a7的值。學生很容易就想到用基本量法來解決，得到a3+a8=a1+2d+a1+7d=10，即2a1+9d=10，兩個未知數a1和d，一個方程無法解，由方程思想可以知道，此題必須要整體求解，這是方程思想指導思維，再由3a5+a7=3（a1+4d）+a1+6d=4a1+18d，整體代換可求得。

在等差、等比數列中，只要抓住兩個基本量，就抓住了數列的本質。只要讓學生理解了等差、等比數列的兩個基本量的本質，學生在解題時，就不會終止在起點。

二、 層層剖析，覓本質

數學學習中講究“返璞歸真”：當學生經歷了大量的同類題目后，會在某個時刻“恍然大悟”，掌握這類問題的“本質”。因此對于一個數學教師來說，是否能夠把握數學本質，是衡量他的專業素養的關鍵。那么對于教師而言，應該怎樣引導學生揭示數學本質呢？多問幾個為什么，在解決為什么的過程中，清晰推理，追尋本質。

在問題1第（2）問的解答中，學生已經求得bn=2n+n，而又對b1，b2，b3…進行逐項求出，想通過b1，b2，b3…，尋找數列{bn}的規律。學生出現這樣的情況，不是因為沒掌握分組求和的方法，而是不認識通項公式bn=2n+n的結構特征，對等差、等比數列的通項公式的學習只是對公式的記憶，沒有深入到本質，沒有掌握等差、等比數列通項公式的結構特征。

等差數列an=a1+（n-1）d=dn+a1-d，設d=k，a1-d=b，則an=kn+b，an是關于n的離散型一次函數；等比數列an=a1·qn-1=a1q×qn，設a1q=k，則an=k·qn，an是關于n的離散型指數型函數。在數學課堂上，對等差、等比數列通項公式進行層層剖析，引導學生進行深入地研究，掌握等差、等比數列通項公式的本質。那么對于問題1第（2）問bn=22+n，學生就會認識數列{bn}是由等比數列與等差數列組合而成，從而就很容易想到要進行分組求和。總之，要想讓學生從心里接受數學知識，進一步理解，并真正將知識同化，就必須讓學生了解知識的來龍去脈。因此，在數列教學過程中，要注重以下兩個方面的教學：

1. 理清數列知識結構

數學知識呈現的形式化是數學抽象性這一特點的表現之一。在教學中，如果教師要想將形式化的數學知識轉化為學生更容易接受的教育形式，就必須深入理解數學知識本質。如果做不到這一點，教學就很容易陷入照本宣科的窠臼，只會把書上的內容重復一遍，造成索然無味的數學課堂。這種無趣的課堂必然難以引起學生學習數學的興趣，更別談學好數學了。教師要想打好有效教學的基礎和前提，就必須要理解數學，而要想更好的理解數學，就必須要理清知識的聯系和結構，這是數學教學的一個重要方面。數列知識網絡圖如下：

2. 建立數列概念與函數的聯系

在數學教學中，教師必須要認識到數學知識體系具有內在邏輯聯系的系統性結構特點。基于這一特點，在教學時，教師若想引導學生理解數學，就必須要讓學生知道每個數學知識點從哪里發展而來，又延伸出什么知識，只有這樣學生才能準確把握知識的來龍去脈。就拿數列來說，數列的上位概念是函數，數列的下位概念有等差數列與等比數列等。因此在數列教學中，教師要想讓學生真正了解掌握數列知識，就必須引導學生將所學過的函數、等差數列、等比數列等知識串聯起來，并與已有知識結構進行結合，完善學生的認知結構。通過這樣的教學和學習，學生才能準確的理解數列的來龍去脈，才能掌握數列的通項與項數之間的變化關系，認識到數列是一種函數，函數關系才是數列的本質。

三、 函數思想，拓思維

從前文的分析中，我們已經知道數列本質上屬于函數，具備函數的某些性質，因此在數列教學中，教師可以引進函數思想。教師應該引導學生利用已經掌握的函數知識及函數學習方法來學習數列——觀察圖像發現性質。學生通過圖像的觀察可以直觀的看清楚數列的變化趨勢，進而掌握數列的單調性特點，找到使數列達到最值時所對應的項數。等差數列前n項和公式Sn可以看作關于自然數n的函數，圖像是拋物線上的點。因此，等差數列前n項和公式Sn的性質可以用前面學習的二次函數性質來研究。

問題2：等差數列{an}中，a1=-20，S9=S12，求該數列前多少項和最小。

分析：由基本量法得a1=-209a1+9×82d=12a1+12×112d，解得a1=-20d=2，∴an=2n-22。

再由an=2n-22≤0，解得n≤11，故數列{an}前10項或前11項和最小。這是尋求數列通項的方法解決前n項和最小值。

如果我們把前n項和最值與函數的最值建立聯系，根據題目可求得Sn=n2-21n，就可以將數列{an}前n項和最小值轉化為離散型二次函數y=x2-21x（x∈N+）的最小值。

在數列這一章教學中，我們不能只講題型與方法，讓學生被動的接受。本人認為，在這一章的教學中，教師要引導學生學會利用函數思想解決數列問題，學會將函數與數列進行聯系，掌握解決數列問題的不同思維角度。這樣不僅能夠拓展學生的思維，而且還能提高學生觀察、分析、解決問題的能力。

四、 圖形輔助，顯真諦

眾所周知，合理利用圖像是解決數學問題的重要手段。圖像可以讓抽象的數學知識變得直觀生動，可以將抽象的概念轉化為具體的圖像，而學生可以通過圖像的變化更好的了解掌握數學知識，進而解決一些抽象數學問題。

在問題2中，我們先對等差數列前n項和公式進一步深入的探究，Sn=na1+n×（n-1）2d=d2n2+a1-d2n，令d2=A，a1-d2=B，則Sn=An2+Bn，故等差數列{an}前n項和公式是關于n的離散型二次函數且不含常數項。如果學生理解了等差數列前n項和公式與函數的聯系，那么就可以直接把問題2中的問題轉化為二次函數問題來解決，設等差數列前n項和Sn=An2+Bn，∵a1<0，求Sn的最小值，∴d>0，即A>0，∴二次函數圖像拋物線開口向上，且經過原點，如圖1：

根據圖像可知等差數列{an}前10項和或前11項和最小。

再如，已知數列{an}是等差數列，Sn是前n項和，Sq=Sp（p

分析：此題利用代數方法，根據等差數列前n項和公式，可設Sn=An2+Bn，再將Sq=Sp代入，得到系數A，B與項數p，q的關系，再求出Sp+q這個過程繁瑣，且容易出錯。如果能夠意識到數列的函數本質，畫出前n項和Sn=An2+Bn函數圖像，如圖2，由Sp=Sq，知圖像對稱軸為x=p+q2，再由對稱性知，x=0與x=p+q關于對稱軸x=p+q2對稱，故Sp+q=0。

作為研究數量關系變化的一種模型，數列隱藏的本質其實就是函數關系。因此，在解決數列問題時，教師可以引導學生從函數角度看待數列，利用函數內容和方法研究解決一些特殊的數列問題。例如：函數圖像。從解決上述問題的方法中可以看出，利用函數圖像不僅可以避免答題過程繁瑣、計算復雜這樣的弊端，使問題得到快速解決，而且還可以升華數列內涵，擴充函數的外延。更重要的是，這樣的解答方法充分體現了數學教學中的數形結合思想以及數學的對稱美。

本文研究提醒我們，高中數學教學不能再停留在傳統的記結論、套公式等方法中，教師要培養學生的聯想、探索以及歸納總結能力，要重點教會學生創新。另外，在平時教學工作中，教師要善于挖掘數學知識本身蘊含的數學思想，并將其滲透給學生。只有通過這樣的教學，學生的數學思維才能得到擴展，思維主動性和思維潛能才能得到激發，思維品質才能得到提高，學生才能真正認識到數學思想的重要性，運用數學思想解決問題的意識和能力才能得到增強。

參考文獻：

[1]徐世風.追源數學揭秘數學[J].數學教學探索，2016.

[2]劉鐵龍.利用函數思想解釋數列通項公式求法[J].廷邊教育學院學報，2015.

[3]吳丹.“追本溯源，激發生命體驗”的語文教學[J].教學研究，2016.

[4]高書玲.追本溯源揭秘奇函數的對稱特性[J].中學數學研究，2014.

作者簡介：

王海平，浙江省溫嶺市，浙江省溫嶺市職業中等專業學校。