關于不定方程組ax2+by2+cz2=d（a，b，c，d同號）Ax+By+Cz=D的完全解

張志華　余隆蘭

[摘 要] 文章先從不定方程的一個特例入手，借助向量的工具進行處理得到唯一解，這啟發我們去思考其幾何意義：平面與球面相切，切點是唯一一個交點，其坐標即為方程組的解. 在此基礎上進行變換與推廣，就得出了一類不定方程組ax2+by2+cz2=d（a，b，c，d同號），Ax+By+Cz=D的完全解.

[關鍵詞] 不定方程；向量法；完全解

一些數學問題經過轉化，最終可變成三元二次方程ax2+by2+cz2=d在限制條件Ax+By+Cz=D下解的情況，即求解不定方程組ax2+by2+cz2=d，Ax+By+Cz=D，所以有必要對這類方程組加以深入研究. 若給出一個限制條件：a，b，c，d同號，我們便能得到其完全解.

一個特例

先從一個特例入手：求解方程組x2+y2+z2=，①-8x+6y-24z=39.②

分析：咋一看，三個未知數兩個方程，未知數的個數多于方程的個數，似乎解不出來.若我們采用消元的思想，將②式變形為z=-x+y-，代入①式，再往下計算也極其煩瑣，而且未必解得出來. 那是否我們就束手無策了呢？

仔細一琢磨，我們從①②兩式的幾何意義入手，①式表示以原點為球心、半徑為的球面，②式表示空間中的一個平面. 這樣我們很容易聯想到借助向量方法來處理.

解析：設a=（x，y，z）為方程組的任意一組解（向量表示式），

b=（-8，6，-24）（表示平面的法向量），

則a·b=-8x+6y-24=39

另一方面，a·b=a·b·cosθ

=··cosθ

=39cosθ（θ為向量a，b的夾角），

所以39cosθ=39，cosθ=1.

注意到θ∈[0，π]，故θ=0.

從而a與b共線，則存在非零實數t∈R，使得===t，

即x=-8t，y=6t，z=-24t，代入②，即得t=，x= -，y=，z=-.

驗證知x=-，y=，z=-是方程組的解.

反思：未知數的個數多于方程的個數，但卻只有唯一的解，這意味著什么呢？聯想到兩個方程的幾何意義，只有這樣一種情況：平面與球面相切，切點是唯一一個交點，其坐標即為方程組的解. 我們只需檢驗球心O（0，0，0）到平面π：8x-6y+24z+39=0的距離ρ是否等于球的半徑r即可，ρ===r，ρ果然恰好等于r！……