例談構造函數妙解不等式問題

李永永

[摘 要] 不等式和函數是高考中重點考查的內容，導數又是解決函數問題的一個重要工具，在一些不等式問題中，若可以依據解決問題的需要恰當地構造函數，并借助導數來處理，定能節約時間，事半功倍.

[關鍵詞] 不等式；構造函數；導數

導數是解決函數問題的一個重要工具，如：求函數的切線、單調區間、最值等，學生只要掌握基本方法和思路，這些問題便可順利解決. 而一些與函數有關的不等式問題，則需要根據所給不等式的特點靈活地運用化歸思想將之轉化為常規問題，較為常見的手段是恰當地構造函數，將不等式問題轉化為函數的最值問題來處理，從而使得原本棘手的問題迎刃而解，給人一種技高一籌的美感.讓我們先從簡單的入手：

證明不等式

例1 求證：當x>-1時，恒有：1-≤ln（x+1）≤x成立.

分析：由于在目標式中出現兩次x+1，因此通過換元令t=x+1，則t>0.

要證1-≤ln（x+1）≤x，即證1-≤lnt≤t-1.

構造函數f（t）=1--lnt（t>0），則f ′（t）=-=.

令f ′（t）=0，則t=1.

當00；當t>1時，f ′（t）<0.

從而f（t）在t∈（0，1）上為增函數，在t∈（1，+∞）上為減函數.

故f（t）有最大值f（1）=0. 所以f（t）≤f（1）=0，即1-≤lnt.

令g（t）=lnt-t+1，則g′（t）=-1=.

令g′（t）=0，則t=1. 同理，可知g（t）在t∈（0，1）上為增函數，在t∈（1，+∞）上為減函數.

故g（t）≤g（1）=0，即lnt≤t-1. 因此原不等式成立.

點評：在此類題的分析過程中，需要牢牢抓住目標結構的特點：一般地，要證明f（x）≤g（x），x∈（a，b），可以構造函數h（x）=f（x）-g（x），x∈（a，b），利用導數給出單調性，求出最大值h（x）max，只要得出h（x）max≤0，便可證得f（x）≤g（x）. 其他的，要證f（x）≥g（x），f（x）g（x），方法類似.

例2 求證：當a≥1且x>0時，aex-x2>1+x.

證：令f（x）=aex-x2-x-1（x>0），則f ′（x）=aex-x-1.

令g（x）=f ′（x），則g′（x）=aex-1. 因為a≥1，且x>0，所以aex>1，所以g′（x）>0.

故g（x）在x∈（0，+∞）上為增函數，所以g（x）>g（0）=a-1≥0，即f ′（x）>0.

故f（x）在x∈（0，+∞）上為增函數.？搖所以f（x）>f（0）=a-1≥0，即f（x）>0.

因此aex-x2-x-1>0，即aex-x2>1+x.

點評：例2與例1的區別在于：構造函數后，需要利用導數的導數研究導函數的單調性. 當然了，這兩個例子都是根據不等式的特點直接構造，命題人不會總出思路這么明顯的問題.那么，在哪些問題中，命題者可以把構造函數的思路變得不那么明顯呢？……