利用好換元，解題變輕松

彭飛　王平

[摘 要] 在高考或模擬考試試卷中，經常會出現利用基本不等式解決的最值問題，并且大多以復雜的分式形式出現. 文章主要以五種類型的分式題目為載體，深入剖析暴露題目本質的幾種常見的換元方法，以達到解題變得更為輕松的目的.

[關鍵詞] 基本不等式；換元；本質；分式

基本不等式是高考重要的考點，每年必考的內容，因此在高考或模擬考試中，經常會出現利用基本不等式解決的最值問題，并且大多以分式的形式出現. 本文針對此類最值問題，與大家一起討論它的解題策略，供參考.？搖

分母是一次，換元就變易

例1：若實數x，y滿足xy+3x=3（0

分析：很多學生看到本題后，會對目標函數式進行通分運算，然后再進行減元化簡.

解法1：因為xy+3x=3，所以得到y=.

所以，+===-1+（1）.

令35x-18=t（-18

對（1）式進行換元，得到-1+=-1+=-1+

由于t<0，故（-2t）+-≥12，所以2t+≤-12，當且僅當2t=時，即t=-3（滿足題意給出的范圍）取“=”，所以原題的最小值為8.

反思：本題利用了減元法思想，使題中目標函數式由兩個變量減少為一個變量，使得題目更易于去處理，但是在實際計算的過程中，并沒有想象中的美好. 為什么會出現這樣的情況呢？主要原因是分母不夠簡潔，導致后期的計算量逐步增加，一不小心將會有算錯的可能，這樣的問題也存在于其他諸多的分式問題中. 那么如何處理才能使得計算更加簡潔呢？

先換元！通過換元的手法，將形式復雜的分母看作為一個整體，這樣整個分式將變得“整潔、漂亮”. 我們通過觀察本題的目標函數式+，分……