高考導函數題型模式探究

李波　張曉斌

[摘 要] 導函數題型是近幾年高考數學的熱點、難點，在省市自主命題試卷、全國卷中占據著難度制高點，承擔著試卷區分度使命. 在高考的導函數題型中，主要考查導數的定義、復合函數求導、運算法則、極值、單調區間、幾何意義、零點、極值點偏移等知識.因此，研究高考導函數經典題型，對各類別題型模式進行探究，對高考復習有著重要的作用.

[關鍵詞] 復合函數；二階求導；洛必達法則；函數零點

問題背景

從2016年開始，包含重慶在內的部分省市，由原來的自主命題轉入全國卷. 對我們一線教師如何復習、如何備考以及教師的專業素養等方面都提出了新的要求，特別是在壓軸題的考查上：以重慶為例，自主命題主要考查圓錐曲線、不等式及數列等知識的綜合，而全國卷命題主要在導數這個模塊上立意創新. 筆者通過對近幾年全國卷、部分省市自主命題試卷導數試題進行研究，對部分題型模式進行探究.

模式探究

1. 挖掘題目結構特征，構建新函數

對學生復合函數求導的運算規則的考查：

（f（x）±g（x））′=f ′（x）±g′（x），（f（x）·g（x））′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x），

′=·（g（x）≠0）.

特別是對f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）與f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）這一結構特征的認識，聯想到構建復合函數. 在考查中，還常常對這一結構進行逆向考查.

例1 （2015年課標卷Ⅱ理科12題）設函數f′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x>0時，xf′（x）-f（x）<0，則使f（x）>0成立的x的取值范圍是（ ）

A. （-∞，-1）∪（0，1）

B. （-1，0）∪（1，+∞）

C. （-∞，-1）∪（-1，0）

D. （0，1）∪（1，+∞）

解析：①條件“當x>0時，xf′（x）-f（x）<0”的應用：xf′（x）-f（x）與f′（x）g（x）-f（x）·g′（x）結構類似，容易聯系到復合函數求導公式′=，令h（x）=（x>0），h′（x）=<0h（x）在（0，+∞）單調遞減.

②條件“奇函數f（x）（x∈R）”的應用：函數h（x）=（x≠0）的奇偶性由y=f（x）奇函數和y=x奇函數決定，h（x）為偶函數，圖像關……