用換元法證明不等式

王煒

[摘 要] 《二十六個優(yōu)美不等式》（安振平）提出了26個優(yōu)美不等式，《“柯西不等式”引領(lǐng)不等式證明》（程漢波、楊春波）給出了第23個優(yōu)美不等式的證明，并做了引申性探究. 文章將給出第23個優(yōu)美不等式的另外一種證法，并給予推廣.

[關(guān)鍵詞] 優(yōu)美不等式；證明；推廣

《二十六個優(yōu)美不等式》（安振平）提出了26個優(yōu)美不等式，《“柯西不等式”引領(lǐng)不等式證明》（程漢波、楊春波）給出了第23個優(yōu)美不等式的證明，并做了引申性探究，下面本文將給出第23個優(yōu)美不等式的另外一種證法，并給予推廣.

問題（第23個優(yōu)美不等式）在△ABC中，求證：

++≥

證明：設(shè)？搖++=s，

則=，=，

=，其中bi>0（i=1，2，3），

所以1-sinAsinB=，1-sinBsinC=，

1-sinCsinA=，3-（sinA·sinB+sinBsinC+sinCsinA）=.

在△ABC中，有sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=，其中p，R，r分別為△ABC的半周長、外接圓的半徑、內(nèi)切圓的半徑.

由熟知不等式知p2≤R2，R≥2r，

所以sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≤=，

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=，所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）≥，

所以s3≥（1）.

要使不等式（1）對bi>0（i=1，2，3）恒成立，必須有s3≥max·.

又由冪平均不等式知≥，

所以≤9，所以s3≥×9，即s≥，

故 ++≥.

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=.

推廣：在△ABC中，n∈N*，求證：++≥·，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=.

證明：設(shè)s=++（n∈N+），

則=，=，

=，其中bi>0（i=1，2，3）.

所以1-sinAsinB=，1-sinBsinC=，

1-sinCsinA=，

所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）=.

在△ABC中，有sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=，其中p，R，r分別是△ABC的半周長、外接圓的半徑、內(nèi)切圓的半徑，

由熟知不等式知p2≤R2，R≥2r，

所以sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≤=，

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=.

所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）≥，

所以sn≥·（2）.

要使不等式（2）對于bi>0（i=1，2，3），n∈N+恒成立，必須有

sn≥max·.

又由冪平均不等式知≥，所以≤3n-1，

所以sn≥×3n-1，

即s≥，

故 ++≥，

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=.

在《“柯西不等式”引領(lǐng)不等式證明》中，提出問題5：在△ABC中，設(shè)n∈N+且n≥4，求證：∑>2，其中∑表示循環(huán)和.

其實比問題5更強命題是：在△ABC中，設(shè)n∈N+且n≥4，求證：

∑≥>2.

事實上，當(dāng)n=1時，在△ABC中，求證：∑（1-sinAsinB）≥；

當(dāng)n=2時，在△ABC中，求證：∑≥；

當(dāng)n≥4時，在△ABC中，求證：∑≥；

當(dāng)n=3時，在△ABC中，n∈N+，求證：Σ≥>2.

因為>2×2n-2>2n>2n>4. 因為n≥4，≥=>4，

故原不等式成立.