如何求二次函數在給定區間上的最值

李忠先

一、課題背景

二次函數是同學們在初中就有一些研究，高一是對二次函數問題又進一步深入研究。但通過多年教學實踐發現，很多同學對這一問題的理解是不深刻的，在解決實際問題中難于準確運用，而這一知識和方法貫穿于整個數學學習中，很多研究函數最值問題最終都轉化為求二次函數的最值問題（化歸思想），因此，熟練掌握此問題的解決方法在高中階段尤其重要。

二、課題研究的目的

通過學生親自實踐，培養思維品質，養成動手習慣，鍛煉動腦能力；通過討論，啟迪思維、學會合作、取長補短；通過總結，認識區間（范圍）在函數問題中的重要性；通過探究，掌握求二次函數最值的方法。

三、方案實施步驟

1.準備階段

①學生復習二次函數有關知識。② 及時公布方案，使學生有心理準備，確保學生積極參與，清楚操作程序，激發熱情，體現人文關懷。

2.自我實踐階段

學生獨立探究以下問題：已知函數f （x） = 。討論：① x∈R 時，f（x）的最值。② x≤-1 時，求f（x）的最值。③ 當x ≥2時，求f（x）的最值。④ 當 -1≤x≤2 時，求f（x）的最值。⑤ 當 -1

3.共同討論階段

第一階段：將學生分成四人一組，共同討論，各抒己見，然后總結結果（10--15分鐘）。

第二階段：每四小組合并為一大組，共同討論。每一小組選一位代表將小組總結結果進行陳述，然后討論。（10--15分鐘）。

4.形成結論階段

各大組代表將討論結果在全班交流，然后老師根據交流中得出的結論或出現的問題與學生共同討論，形成共識。最后得出解決問題的方法——“求二次函數f （x）在給定區間〔a ， b〕上的最值”主要就是研究二次函數圖像對稱軸與區間的位置關系和開口方向（此處可與學生共同討論完成），一邊討論、一邊總結、一邊畫出各種位置關系的圖形，用圖形生動、直觀、準確地展現出來，這樣也有利于學生記憶和理解。

開口向上分三種情形：

（1）對稱軸在區間〔a ， b〕左邊，則f （x） = f （a） ， f （x） = f （b）

（2）對稱軸在區間〔a ， b〕右邊，則f （x） = f （b） ， f （x） = f （a）

（3）對稱軸在區間〔a ， b〕內部， 則f （x） = f（- ）， f （x） = f （ ）。（距離對稱軸遠的那個區間端點的函數值）

5.推廣演練階段

例1：f （x） = （x≤a）.求f （x）的最大值。

解：∵函數f （x） 的對稱軸為 =-1，且該拋物線的開口向下

∴f （x）在區間（-∞，-1）上是增函數，在區間（-1，+∞）是減函數

∴當a≤-1時，f （x）在區間（-∞，a]上是增函數，此時f （x）有最大值且為f （a）=

當a>-1時，f （x）的對稱軸在區間（-∞，a]的內部，此時f （x）有最大值且為f （-1）= 2

例2：設a為實數，函數f （x） = x∈[-3，2]，求f （x）的最值。

解：∵函數f （x） 的對稱軸為 = ，且該拋物線的開口向上

∴f （x）的對稱軸在區間[-3，2]的內部，且∣ -（-3）∣>∣2- ∣

∴當x∈[-3，2]時，函數f （x） 在 = 時有最小值f （ ）= ，函數f （x） 在 =-3時有最大值f （-3）= 。

6.課外演練提升階段

（1）已知a為實數，函數f （x） = x∈[-3，2]，求f （x）的最值。

（2）已知a為實數，函數f （x） = x∈[ ，1]，求f （x）的最值。

當然，以上問題在學習了導數的相關知識后，用導數方法求最值更容易解決，但作為求二次函數最值的基本方法，是學生的基本能力，它對培養學生的思維品質，理解分類討論的思想，提高學生學習數學的能力都是非常重要的！