圓錐曲線焦點弦問題的探究

黃顯斌

關鍵詞：圓錐曲線 焦點弦 焦半徑

摘要：圓錐曲線的焦點弦問題是高中數(shù)學考試命題熱點，如何能用最短時間解決問題是高中教師的教研方向。本文介紹關于焦點弦的公式，并例舉解題方法。

圓錐曲線是現(xiàn)行高中解析幾何學的重要內(nèi)容之一，圓錐曲線知識既是高中數(shù)學的重點又是難點因而成為高考的重點考查內(nèi)容。圓錐曲線焦點弦就是經(jīng)過圓錐曲線焦點的弦，圓錐曲線的焦點弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點（向量）、焦半徑和焦點弦長等有關知識。焦點弦是圓錐曲線的重點知識，集數(shù)學知識、思想方法和解題方法于一體。本文介紹關于焦點弦的公式，以便使學生對相關知識有一個更全面、更系統(tǒng)、更

深刻的了解從而進一步提高運用這些性質(zhì)去解決相關題目的數(shù)學能力和應用能力。

定理1 已知點 是離心率為 的圓錐曲線C的焦點，過點 的弦 與C的焦點所在的軸的夾角為 ，且 。（1）當焦點F內(nèi)分弦AB時，有 ；（2）當焦點 外分弦 時（此時曲線為雙曲線），有 。

證明 設直線 是焦點 所對應的準線，點A、B在直線l上的射影分別為 ，點 在直線 上的射影為 。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得， ，又 ，所以 。

評注 特別要注意焦點外分焦點弦（此時曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點弦時公式的不同，這一點很容易不加區(qū)別而出錯。

定理2： 已知點F和直線l是離心率為e的圓錐曲線C的焦點和對應準線，焦準距（焦點到對應準線的距離）為p。過點F的弦AB與曲線C的焦點所在的軸的夾角為 ，則有 。

證明 設點A、B、F在準線l上的射影分別為 ，過點F作軸FH的垂線交直線 于點M，交直線 于點N。由圓錐曲線的第二定義得， ，

所以 。

評注 特別要注意焦點外分焦點弦（此時曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點弦時公式的不同，這一點很容易不加區(qū)別而出錯。

例1設拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點.若|AF|=3|BF|，則l的方程為（ ）

A.y=x-1或y=-x+1 B.y=33（x-1）或y=-33（x-1）

C.y=3（x-1）或y=-3（x-1） D.y=22（x-1）或y=-22（x-1）

解一： 拋物線y2=4x的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1，設A（x1，y1），B（x2，y2），因為|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2.因為|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=13，當x1=3時，y21=12，所以此時y1=±12=±23，若y1=23，則A（3，23），B13，-233，此時kAB=3，此時直線方程為y=3（x-1）.若y1=-23，則A（3，-23），B13，233，此時kAB=-3，此時直線方程為y=-3（x-1）.所以l的方程是y=3（x-1）或y=-3（x-1），選C。

解二：由 ，得： 或 ，于是 ， ，選C。

點評：由解答可知，利用本文公式可以減少運算量。

例2已知雙曲線 的右焦點為 ，過 且斜率為 的直線交 于A、B兩點。若 ，則 的離心率為（ ）

解： 這里 ，所以 ，又 ，代入公式得 ，所以 ，故選 。