圓錐曲線焦點弦問題的探究

黃顯斌

關鍵詞：圓錐曲線 焦點弦 焦半徑

摘要：圓錐曲線的焦點弦問題是高中數學考試命題熱點，如何能用最短時間解決問題是高中教師的教研方向。本文介紹關于焦點弦的公式，并例舉解題方法。

圓錐曲線是現行高中解析幾何學的重要內容之一，圓錐曲線知識既是高中數學的重點又是難點因而成為高考的重點考查內容。圓錐曲線焦點弦就是經過圓錐曲線焦點的弦，圓錐曲線的焦點弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點（向量）、焦半徑和焦點弦長等有關知識。焦點弦是圓錐曲線的重點知識，集數學知識、思想方法和解題方法于一體。本文介紹關于焦點弦的公式，以便使學生對相關知識有一個更全面、更系統、更

深刻的了解從而進一步提高運用這些性質去解決相關題目的數學能力和應用能力。

定理1 已知點 是離心率為 的圓錐曲線C的焦點，過點 的弦 與C的焦點所在的軸的夾角為 ，且 。（1）當焦點F內分弦AB時，有 ；（2）當焦點 外分弦 時（此時曲線為雙曲線），有 。

證明 設直線 是焦點 所對應的準線，點A、B在直線l上的射影分別為 ，點 在直線 上的射影為 。由圓錐曲線的統一定義得， ，又 ，所以 。

評注 特別要注意焦點外分焦點弦（此時曲線為雙曲線）和內分焦點弦時公式的不同，這一點很容易不加區別而出錯。

定理2： 已知點F和直線l是離心率為e的圓錐曲線C的焦點和對應準線，焦準距（焦點到對應準線的距離）為p。過點F的弦AB與曲線C的焦點所在的軸的夾角為 ，則有 。

證明 設點A、B、F在準線l上的射影分別為 ，過點F作軸FH的垂線交直線 于點M，交直線 于點N。由圓錐曲線的第二定義得， ，

所以 。

評注 特別要注意焦點外分焦點弦（此時曲線為雙曲線）和內分焦點弦時公式的不同，這一點很容易不加區別而出錯。

例1設拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點.若|AF|=3|BF|，則l的方程為（ ）

A.y=x-1或y=-x+1 B.y=33（x-1）或y=-33（x-1）

C.y=3（x-1）或y=-3（x-1） D.y=22（x-1）或y=-22（x-1）

解一： 拋物線y2=4x的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1，設A（x1，y1），B（x2，y2），因為|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2.因為|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=13，當x1=3時，y21=12，所以此時y1=±12=±23，若y1=23，則A（3，23），B13，-233，此時kAB=3，此時直線方程為y=3（x-1）.若y1=-23，則A（3，-23），B13，233，此時kAB=-3，此時直線方程為y=-3（x-1）.所以l的方程是y=3（x-1）或y=-3（x-1），選C。

解二：由 ，得： 或 ，于是 ， ，選C。

點評：由解答可知，利用本文公式可以減少運算量。

例2已知雙曲線 的右焦點為 ，過 且斜率為 的直線交 于A、B兩點。若 ，則 的離心率為（ ）

解： 這里 ，所以 ，又 ，代入公式得 ，所以 ，故選 。