化歸方法在中學數學解題中的運用

李森城

化歸方法是研究數學問題，解決數學問題的一種重要思想方法，是數學方法論中研究的一種最基本、最典型的方法。化歸方法在數學解題中的應用概括起來即為化未知為已知，化數為形，化實際問題為數學問題等三個方面。化歸方法在數學解題中運用廣泛，特別是在高考數學的解答題中，如在三角函數，立體幾何，數列題，解析幾何，應用題中等等。

一、化歸方法在三角函數題中的運用

三角函數是高中的重要知識點，因為它蘊含著豐富的數學思想方法，而化歸方法在三角函數中運用非常普遍。學生掌握好化歸方法，將對解三角函數問題有很大的幫助。化歸方法在三角函數中的運用主要體現在化未知為已知。已知和未知是相對的。在一定的條件下，未知和已知可以相互轉化，也就是說未知可以轉化為已知，已知也可轉化為未知，這種解法上的轉變，往往可幫助我們找到解題的方向。

例1已知 ，若 ，且 ， ，求 。

分析 該題若將 轉化為[ -（ - ）]，再運用公式展開，則容易求解。

解 ∵ ， sin = ，∴cos =

∵

三角函數解答題往往是高考解答題的第一題，難度一般不大，涉及的知識點較多，考生需熟練掌握相關的公式和性質。解答三角函數最常用的數學方法即化歸方法。在解答三角函數題時，我們不要急于利用公式對函數進行化簡，先想想能否通過已知的條件或者隱含的條件，把未知化為已知，從而找到解決問題的簡便方法。

二、化歸方法在立體幾何題中的運用

立體幾何是高考的必考知識點，有些學生的空間思維不好，對于一些較難的立體幾何題無從下手。有些立體幾何題往往存在一些捷徑，知識點的靈活運用是其中的關鍵，而化歸方法就是其中的一個捷徑。對于有些立體幾何題，我們往往可以通過化歸把問題變得簡單，進而快速找到解決問題的方法。化歸方法在立體幾何中的運用主要體現在求異面直線的夾角，求錐體的體積和線線、線面垂直的證明等等。

例2 已知在正方體 中， ， 為棱 的中點，求三棱錐 的體積。（見圖1）

分析 由于三棱錐 的高不易求出，而三棱錐 的高容易求出。因此，我們可以把求三棱錐 的體積轉化為求三棱錐 的體積。

解 根據正方體的性質，可知 為三棱錐 的高

為棱 的中點 ， =1

立體幾何是高中數學的一個重要內容，從平面幾何到立體幾何是一個難度較高的臺階。因此，立體幾何成為初中數學進入高中數學學習的一道障礙。利用化歸方法來解立體幾何問題是一種很有力的工具。我們在解立體幾何題時，應當熟悉和掌握這一工具，并能自覺地運用這個工具。

三、化歸方法在數列題中的運用

數列通項公式的求解，是高考數學中的難點之一。求解數列通項公式的方法多種多樣，分析、推理能力要求較高。不少既非等差又非等比的數列，卻可以通過適當的變形，化歸為一個等差數列、等比數列或一個較為容易求出通項的數列，進而再求出原數列的通項公式。構造法是求解數列通項中常用的化歸方法。構造的途徑有多種多樣，我們需具體問題具體分析。

例3 已知數列 中， ， ，求數列 的通項公式。

分析：首先對 兩邊取倒，可得到 的通項公式。那么求數列 的通項公式就化歸為先求 的通項公式。

解 對 兩邊取倒，得 =

即 ，那么數列 是一個以首項為 ，公差 的等差數列

則

由數列的遞推關系求數列的通項公式的情況很復雜，而求數列的通項公式，最常用的方法就是化歸方法。求數列的通項公式，我們應該立足于等差、等比數列的基礎，借助倒數關系、對數關系、函數關系等，進行一系列的轉化、化歸，就能很好的解決問題。

四、化歸方法在解析幾何題中的運用

解析幾何一直是高考數學的重點和難點知識。在高中課本中解析幾何包括直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等相關知識。初學者必須非常熟悉這些知識的基本內容和它們的相關性質。對于高三的學生需要進一步掌握解析幾何中曲線之間的知識銜接和整合性問題，解決難度較大的綜合性的題目。在做解析幾何的題目時，我們應當通過思想方法看到解析幾何最值、范圍類問題的數學本質，即通過轉化，化歸，利用數形結合來解決問題。

例4 已知實數 滿足圓方程 ，求 的取值范圍。

分析 對 進行變形，得 把求 的取值范圍化歸為圓 上的動點到定點 的連線的斜率的取值范圍。

解 令 則 可看作圓 上的動點到定點 的連線的斜率，

當直線與圓相切時，設直線方程為 ，即

圓心到直線的距離 解得

解析幾何的基本思想就是利用代數的方法來研究幾何，最基本的做法即把幾何問題轉化為代數問題，用代數的知識解決后，再到幾何中去。所以，化歸方法是解答解析幾何題的基本方法。通過化歸，利用數形結合即可得到問題的答案。五、化歸方法在實際問題中的運用

隨著科學技術的不斷發展，教育改革的不斷深化，其他相關學科及生活、生產實際都離不開數學知識，它們與數學知識的聯系更為緊密。在近幾年的高考中，對應用題的考察頻頻出現，而解決應用題的關鍵在于把實際問題化歸為數學問題。

化歸方法在實際問題中的作用越來越重要。在實際生活中，所謂的化歸方法解決實際問題就是建立數學模型，把實際問題轉化為數學模型，通過求解數學模型來解決實際問題。

在解題過程中，運用化歸方法，可把未知的問題化歸為已知的問題、把復雜的問題化歸為簡單的問題、把非常規的問題化歸為常規的問題，使問題變得簡單，從而得到解決。中學生如果掌握了化歸方法的使用，就能從更深層次上揭示知識與知識間的內部聯系，進而提高他們分析問題、解決問題的能力。