例析數(shù)學(xué)解題中添加輔助線技巧

莊周燕

[摘要]輔助線在數(shù)學(xué)解題中起著重要的橋梁作用，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可使解題過程由繁變簡，由難變易.探尋添加輔助線的方法有實(shí)際意義.

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué)；輔助線；添加；技巧

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2018）08002602

學(xué)生解決一些幾何問題時，往往做著做著就遇到了瓶頸，這時需要改變解題思路，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，理順已知和求證之間的聯(lián)系，使解題過程由繁變簡，由難變易.這一過程有助于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

一、案例在線

例題：如圖1所示，點(diǎn)P是等邊△ABC外一點(diǎn)，∠APC=60°，PA、BC交于點(diǎn)D，求證：PA=PB+PC.

二、分析與證明

方法一

分析：

本題考查的是三條線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，三條線段共有端點(diǎn)P，但又不在同一條直線上，因此考慮在最長的線段PA上截取線段AM與PC相等，接下來只要證線段BP與PM相等.而證明兩條線段相等，通常證兩個三角形全等，此時輔助線呼之欲出.連接BM，證明△ABM≌△CBP.進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD和△CPD構(gòu)成了一個“八字形”的圖形，因?yàn)椤螦DB=∠PDC以及三角形內(nèi)角和等于180°，不難得出∠ABD+∠BAD=∠DPC+∠DCP.又因?yàn)椤螦BD=∠DPC=60°，所以∠BAD=∠DCP.又因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以有AB=BC.對于此題來說，此時已經(jīng)具備了證明兩個三角形全等所需的三組對應(yīng)條件，接下來證明水到渠成.

證明：

如圖2所示在AP上截取AM=PC，

∵△ABC為等邊三角形，

AB=BC，∠ABC=60°.

在△ABD中，

∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，

即60°+∠ADB+∠BAD=180°.

在△PCD中，

∠APC+∠PDC+∠PCD=180°，

即60°+∠PDC+∠PCD=180°.

∵∠ADB=∠PDC，

∴∠BAD=∠PCD.

又∵AM=PC，

∴△ABM≌△CBP（SAS），

∴∠ABM=∠PBC，BM=BP.

∵∠ABC=60°，

即∠ABM+∠MBC=60°.

∴∠PBC+∠MBC=60°.

即∠PBM=60°.

又BM=BP，

∴△BMP為等邊三角形.

∴PM=BP，

∵PA=PM+MA，

∴PA=PB+PC.

方法二

分析：

如果說方法一是通過將已知線段截取的方法來思考的話，我們還可以通過延長線段的方法加以解決，延長線段PC至F，使PF=PA，只要證PB=CF即可.接下來只需證△ABP≌△ACF，得BP=CF.難點(diǎn)得以突破，具體解答如下.

證明：如圖3所示，

延長PC至F，使PF=PA，連接AF.

∵∠APC=60°，PF=PA，

∴△APF為等邊三角形，

∴∠PAF=60°，AP=AF，

∴∠PAC+∠CAF=60°.

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∴∠BAP+∠PAC=60°，

∴∠CAF=∠BAP，

∴△ABP≌△ACF（SAS），

∴BP=CF.

∵PA=PF=PC+CF，

∴PA=PB+PC.

方法三

分析：

如果說上面的兩種解法是從線段的角度加以考慮，我們還可以從角的角度分析，構(gòu)造角相等.因?yàn)椤螦BC=60°，我們作∠PBM=60°，此時∠ABC=∠PBM，通過在等式兩邊同時減去∠CBM，可得∠ABM=∠CBP，要證明兩個角相等，同樣可證兩個三角形全等.BM這條輔助線，巧妙地連接未知和已知，使解題思路清晰，為證明本題創(chuàng)造了條件.

證明：

如圖4所示，作∠PBM=60°，交AP于點(diǎn)M.

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=60°，AB=BC，

即∠ABM+∠MBC=60°.

又∵∠PBM=60°，

∴∠PBC+∠MBC=60°，

∴∠ABM=∠PBC.

在△ABD中，

∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，

即60°+∠ADB+∠BAD=180°.

在△PCD中，

∠APC+∠PDC+∠PCD=180°，

即60°+∠PDC+∠PCD=180°.

∵∠ADB=∠PDC，

∴∠BAD=∠PCD，

∴△ABM≌△CBP（ASA），

∴BM=BP，MA=PC.

又∠PBM=60°，

∴PM=BP，

∵PA=PM+MA，

∴PA=PB+PC.

三、教學(xué)啟示

本題考查的是兩種常見圖形（等邊三角形和全等三角形）以及它們的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.但離不開我們證明線段相等或角相等常見的思維模式，即證兩個三角形全等.當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)圖中沒有全等的三角形時，需要借助輔助線來解決，降低證明難度.而輔助線方法是多樣的，需要我們總結(jié)規(guī)律，掌握輔助線添加的技巧，力求在解題中收到事半功倍的效果.

1.從基本圖形中尋找“線”影.

本題全等三角形的構(gòu)造是證明線段或角相等的關(guān)鍵，它給我們提供了一條思維途徑，我們可從題目中抽象出基本圖形，變?yōu)槲覀兯煜さ念}型.雖然教材中關(guān)于全等三角形證明的習(xí)題較多，但試題往往源于教材又高于教材，所以需要我們平時在幫助學(xué)生打好基礎(chǔ)知識的前提下，引導(dǎo)他們探尋解題規(guī)律，通過觸類旁通，尋找輔助線的身影，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力，這樣當(dāng)學(xué)生再遇到此類問題時，就不會束手無策，而是能靈活和綜合運(yùn)用所學(xué)知識.

2.從解題積累中尋覓“線”路.

通過添加不同的輔助線，可得出不同的解題方法.輔助線雖千變?nèi)f化，但并非無跡可尋.陶行知曾說：“接知如接枝.”我們要重視學(xué)生通過親身實(shí)踐，在一定感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，通過不斷思考，達(dá)到知識的理解和觸類旁通.解題經(jīng)驗(yàn)的積累，有利于學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)解題方法.一旦找到解題的切入點(diǎn)，打開思路，下面的問題就會順利解決.若將所學(xué)輔助線的方法加以整理，形成一個完整的知識方法系統(tǒng)，就會成為學(xué)生取之不盡的源泉，對他們核心素養(yǎng)的培育起到促進(jìn)作用.

3.從題目解讀中發(fā)現(xiàn)“線”跡.

本題中∠APC=60°是一個關(guān)鍵條件.它想要傳達(dá)什么數(shù)學(xué)信息，怎樣將這個條件有效利用，找到最優(yōu)的輔助線？需要我們從不同思維角度去尋覓解題的途徑.通過對圖形的觀察與分析，揣摩出編者出題的意圖，通過感悟出題的角度和方向，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

輔助線在數(shù)學(xué)解題時起到非常好的橋梁作用.我們常說“學(xué)無定法”，輔助線的添加也是如此.同一道數(shù)學(xué)題，輔助線可能有不同的添加策略，到底選擇哪種，需要學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練，積累豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思考方法和探尋之樂，這樣在以后遇到難題時，才能得心應(yīng)手.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）