基于非線性彈簧模型的振動聲調制機理研究

劉學君，楊曉華，馬廣婷，張 玎

(1.海軍航空工程學院 青島校區 航空機械系，山東 青島 266041;2.91899部隊，遼寧 葫蘆島 125001)

疲勞裂紋是影響飛機安全性的重要因素，目前針對裂紋的檢測主要是采用傳統的無損檢測手段，如目測法、滲透法、電渦流、射線、超聲檢測法等。因無損監測手段的原理限制，難以實現實時主動的在線監測，而為能實時掌握結構的安全性能，結構健康監測的概念應運而生。目前，較為常見的結構健康監測方法主要有基于結構應力應變分布的方法、聲發射、基于結構機電阻抗的方法及基于導波的方法。而基于超聲導波的結構健康監測方法，因其實現較為簡單，可采用有限傳感器實現對較大區域的健康監測，獲得了較多科研工作者的青睞[1]。

目前常規的基于Lamb波的裂紋監測方法主要是通過考察監測信號與健康信號的變化，進而實現裂紋的定位及成像[2]。孫虎等[3]采用無質量彈簧元模擬裂紋，并結合譜元法模擬了含裂紋梁內Lamb波的傳播特性；張正罡等[4]通過鑿刻不同深度的凹槽來模擬裂紋，發現了Lamb波的轉換模式能量百分比隨著裂紋深度的增加而線性增加的結論；Su等[5]通過數值模擬及實驗的方法得到了Lamb波的反射及透射系數隨裂紋長度的變化關系。這些方法均針對張開裂紋，即裂紋兩面位移不連續，不能傳遞應力，聲波會在裂紋處發生發射和散射。在產生疲勞疲勞裂紋后，其裂紋面處于接觸狀態，位移部分連續，且可傳遞部分應力[6-8]。而對于某些承壓結構，當裂紋處于閉合狀態時，由壓電片引起的應力較為微弱，無法引起裂紋面的相對運動，故基于線性Lamb波的健康監測方法將不再適用[9-11]。當超聲入射到含裂紋結構時，會因為裂紋的存在，導致一些非線性現象，如：諧波分量(次諧波、偶次諧波、奇次諧波)、振動聲調制效應、DC效應、慢動效應等，這些現象是經典非線性本構無法解釋的，需要從非經典非線性，如：遲滯非線性和接觸非線性角度出發進行分析[12]。振動聲調制效應因實現較為簡單，且有時可采用結構服役期間的振動來實現，是一種理想的健康監測手段[13]。Chen等[14]采用振動聲調制的方法對復合材料的分層及脫粘等進行監測；Kim等[15]采用風力發電葉片在工作時的振動作為低頻振動，結合振動聲調制的方法，實現了風力發電機葉片裂紋的監測；焦敬品等[16]采用振動聲調制的方法，基于小波變換，分別提取并比較了基準信號與監測信號在低頻振動頻率的信號成分，并以此進行了接觸類缺陷的成像處理；Sohn等[17]在振動聲調制的應用方面做了大量的工作，基于同步解調和帶通濾波的方法提取了邊頻諧波，并實現了復雜結構件疲勞裂紋的在線監測。針對振動聲調制的研究，往往是基于其現象而展開，對于其機理的研究相對較少。Klepka等[18]也在振動聲調制領域開展了大量理論及實驗研究，采用有限元的方法，探究了不同裂紋類型對振動聲調制效應的影響，但其采用了簡單的裂紋開合模型，且裂紋面假設為光滑表面，裂紋面的接觸作用設置為硬接觸，這與真實裂紋的粗糙表面及接觸機理是有差距的；Donskoy等[19]利用非線性彈簧模型對裂縫進行了模擬，研究了兩列聲波在含裂縫的一維桿件中的傳播機理，在假定位移連續，應力有突變的前提下，通過分析兩入射波在裂紋面處的相互作用，并得到了聲波諧波成分的近似表達式，并通過試驗驗證。該方法考慮了兩入射波對裂紋面的影響，但并未考慮后期產生的基波對裂紋面的作用，為更進一步探究振動聲調制的機理，本文將開展相關的研究。

從理論和試驗兩方面展開研究，引入非線性彈簧模型用以模擬疲勞裂紋[19-21]，推導了兩列一維簡諧波入射含接觸界面的兩半無限大固體的近似解，得到了透射波的各諧波組分的近似表達式，并對板中的振動聲調制現象開展了試驗研究，為進一步采用振動聲調制及Lamb波進行損傷定位提供了理論依據。

1 振動聲調制

振動聲調制一種是基于接觸非線性的非線性超聲檢測方法，對接觸類損傷(如微裂紋、閉合裂紋、脫粘、剝離等)具有較高的檢測靈敏度，近年來得到了廣泛關注。其具體原理是向結構中輸入兩頻率不同的激勵信號，一個信號為低頻振動激勵(LF)，對應頻率為ω1，其幅值相對較大，應用于推動裂紋面的相對運動，使得裂紋面發生接觸作用。而另一信號為高頻振動(HF)，對應頻率為ω2，頻率相對較高，幅值相對較小，其對裂紋的敏感性較高。當結構中不存在裂紋時，結構可視為一線性系統，在接收端接收到的信號僅為兩列信號的線性疊加，其頻域也僅有兩列入射波對應的頻率成分，即頻率分別為ω1和ω2的基波；當結構中存在接觸類損傷時，結構將在接觸損傷處變為非線性系統，因兩列聲波與接觸損傷處的相互作用，聲波會在損傷處發生幅值和相位調制，進而產生了新的以頻率為ω1±ω2的邊頻調制諧波成分，振動聲調制的過程如圖1所示。

圖1 振動聲調制示意圖Fig.1 Vibro-acoustic modulation diagram

2 理論分析及討論

2.1 建立模型

為分析因裂紋界面引起的非線性超聲，研究兩列簡諧波在含固-固界面的有限區域內的傳播特性。兩有限區域為線彈性結構(密度為ρ，彈性模量為E)，建立模型如圖2所示。

圖2 兩列聲波在裂紋界面傳播示意圖Fig.2 Acoustic wave propagation in structure with crack

X+(t)-X-(t)為代表裂縫間的距離，該距離與兩裂紋面所受拉力有關。假定裂紋面在未施加彈性波的情況下，裂紋兩端受拉力p0時，其間距為h0。

當一維縱波入射結構時，根據縱波的波動方程，其位移與力的關系有：

(1)

式中：u(x,t)為波沿x方向傳播的位移，σ(x,t)為應力，t為時間。

u-x,t)=ua+ub+uc,x

(2)

u+(x,t)=ud,x>X+

(3)

式中：uc=fref(x-ct)為透射波，ud=ftra(x-ct)為反射波，c=(E/ρ)1/2為波速。

2.2 公式推導

考慮彈性波在界面的相互作用，得到界面的間隙與時間的關系有：

h(t)=h0+u(X+,t)-u(X-,t)

(4)

因接觸界面存在應力連續條件，且應力的大小與裂縫間的距離h及接觸應力p(h)有如下關系：

σ(X+,t)=σ(X-,t)=-p(h(t))

(5a)

p(h0)=p0

(5b)

為方便后文推導，引入如下變換

X(t)={u(X-,t)+u(X+,t)}/2

(6a)

Y(t)=u(X+,t)-u(X-,t)=h(t)-h0

(6b)

控制方程可以寫為[18]：

(7a)

(8a)

(8b)

因此，微分方程(7b)的求解是確定透射波和反射波的關鍵所在。

現假設兩列入射波的表達式為：

(9a)

(9b)

式中：A,B分別為兩列入射波的幅值，ω1,ω2分別為兩列入射波的角頻率。

因接觸界面存在初始應力，故界面的非線性彈簧模型可以表述為[17]：

p(h)=p(h0+Y)=p0-K1Y+K2Y2

(10)

因此將公式(9)代入(7b)中可得：

(11)

上述方程為非線性非齊次微分方程，無法直接求的其顯式解。因此，采用小擾動法進行求解，進行如下假設。

Y=Y0+ΔY

(12)

式中：Y0為線性量，ΔY為微擾量。忽略二階小量，則基準方程為：

(13)

考慮邊界條件：

Y(0)=0

(14)

省略常數項，得到：

(15)

(16)

將式(15)、(16)和(12)代入式(8)中，可以得到透射波與反射波的近似表達式：

(17)

(18)

2.3 結果討論

上文通過分析兩列簡諧波在接觸界面處的傳播行為，基于微擾法推導得到了透射波和反射波的近似表達式。通過公式(17)和(18)可以看出，其諧波成分的組成與振動聲調制試驗的結果相同，透射波和反射波的諧波成分可由四部分組成，分別是直流成分、基波(ω1，ω2)成分、二次諧波(2ω1，2ω2)、調制諧波(ω1±ω2)成分。

以透射波為例進行討論。從公式中可以看出，第一部分即為直流成分，其僅與頻率及兩個界面剛度有關，而與時間無關，這也是恰恰與由Korshak等在研究表面波在玻璃陶瓷界面傳播時發現的“直流(DC)效應”相吻合[21]。通過分析可得到，直流成分與諧波成分的最大幅值與入射波參數之間的關系如下：

(19a)

(19b)

(19c)

(19d)

將上述公式結果與文獻[19-20]推導的結果相對比來看，在非線性彈簧剛度不變的假設前提下，基波成分uωA(x,t)與對應入射波的幅值A成比例關系，且僅與線性剛度系數K1有關，這是與文獻[19-20]中的結論類似的；其二次諧波成分u2ωA(x,t)則與對應入射波的幅值平方A2成比例關系；其調制邊頻諧波幅值uω1±ω2(x,t)則與兩入射波的幅值乘積AB成比例關系。從公式中還可以看出，二次諧波和邊頻調制諧波的幅值與線性剛度K1和非線性剛度K2均相關，而文獻[19-20]中，僅與接觸非線性剛度K2相關，這是因為文獻[19-20]中在計算裂紋面上產生的內力時，僅考慮了兩入射波對裂紋間隙的作用，而未考慮產生諧波后，諧波反作用于裂紋面，對裂紋面距離產生的影響。

目前，應用于判斷結構是否存在損傷的指標較多，本文采用調制邊頻諧波幅值與兩基波幅值乘積之比R作為評判指標[22]，用以判斷結構是否發生裂紋損傷，基于上述推導結果可得：

(20)

由推導結果可看出，當存在振動聲調制行為后，指標R的大小，僅與界面剛度有關，而與激勵參數無關。兩剛度系數[24]可用下式表示：

K1(P)=CPl

(21a)

(21b)

式中：l和C均為正的常數，此處P為正壓力。則公式(20)可以改寫為

(22)

從公式(22)中可以看出，指標R隨著壓力的增大有減小的趨勢，故隨著拉力的增大有增大的趨勢。

本文推導的是兩列簡諧波在接觸界面處的傳播狀態，理論上，從Lamb波的波動方程出發，采用類似的推導方法，也可以得到類似的結論。本文基于上述推導結果，將其應用于含裂紋板結構中Lamb波的傳播分析。

3 試驗驗證

為驗證振動聲調制方法在板類結構中的傳播機理，選取尺寸為300 mm×700 mm的矩形板作為試驗件，板中間位置有8 mm通孔，并采用MTS-810材料試驗機進行疲勞加載直至出現疲勞裂紋，裂紋位于孔兩側，裂紋長度約為15 mm。在裂紋周圍布置8個傳感器，具體位置如圖3所示。

圖3 試驗件及傳感器布置圖Fig.3 Test specimen and the sensor arrangement

圖3中采用PZT壓電傳感器作為高頻信號的激振器及傳感器，在圖中標識序號為1-8。采用電磁激振器產生低頻信號。采用NI數字采集設備進行高頻信號激發和采集，為避免邊界反射對本文實驗結果的影響，實驗采用懸掛的方式。低頻及高頻信號的發生裝置如圖4和5所示。

圖4 高頻激勵發生及采集設備Fig.4 Equipment of high frequency signal generation and acquisition

圖5 低頻振動信號發生設備Fig.5 Equipment of low frequency signal generation

為在較低低頻激勵電壓下，能更好的推動裂紋面的運動，可采用該板的固有模態作為激勵頻率。通過掃頻，采用第8階固有模態對應的頻率287.2 Hz，作為低頻振動激勵頻率，高頻信號頻率為50 kHz。為降低信號分析難度，采用帶通濾波，保留1 kHz～200 kHz區間的信號。

本文主要考慮低頻振動幅值對各諧波分量幅值的影響。保持激勵壓電片的激勵電壓不變，激勵頻率為50 kHz，引入低頻振動的激振器激勵電壓分別取20 V、25 V、30 V、35 V、40 V、45 V、50 V。采樣頻率為1 MHz，采樣點數為100 000點。在裂紋尺寸為15 mm時，以傳感路徑3-2為例，低頻激勵電壓為20 V時，信號的頻譜圖見圖6。

圖6 傳感信號的頻譜圖Fig.6 FFT of sensing signal

從圖6中可以看出，信號主要由基頻、二次諧波和三次諧波信號組成。因上文公式推導中，裂紋的非線性彈簧模型僅取一階和二階剛度，而未考慮高階剛度，故公式中未出現三倍頻成分。為考察調制邊頻諧波的情況，將上圖進行局部放大，分別得到圖7～9。

圖7 基波附近局部放大頻譜圖Fig.7 FFT of sensing signal nearby the fundamental waves

圖8 二次諧波附近局部放大頻譜圖Fig.8 FFT of sensing signal nearby the second harmonic

圖9 三次諧波附近局部放大頻譜圖Fig.9 FFT of sensing signal nearby the third harmonic

當不施加低頻振動，僅通過壓電片激發高頻振動時，測得信號其頻譜圖見圖10。

圖10 無LF基波附近局部放大頻譜圖Fig.10 FFT of sensing signal nearby the fundamental waves without LF

從圖7～9中可以看出，不僅基頻附近出現了調制邊頻諧波，在二次及三次諧波附近同樣出現了調制邊頻，這是二次及三次諧波形成駐波后，與低頻入射波在裂紋處再次相互作用所導致的。從圖10中，可知當低頻振動LF不存在時，則未出現調制波形。結合圖7，發現基波與調制邊頻的頻率相差287.2 Hz，這說明調制邊頻諧波確實是由振動聲調制現象引發的。

對不同低頻振動激勵電壓下的傳感信號進行FFT變換，提取基頻和調制邊頻的幅值，可得到在高頻激勵不變的情況下，基頻幅值及調制邊頻幅值隨低頻信號激勵電壓的變化關系。

圖11 基波幅值隨低頻振動幅值的變化關系Fig.11 The corresponding relationship between the amplitude of fundamental waves and the amplitude of low frequency excitation

圖12 邊頻諧波隨低頻振動幅值的變化關系Fig.12 The corresponding relationship between the amplitude of side-band harmonic and the amplitude of low frequency excitation

圖13 二次諧波隨低頻振動幅值的變化關系Fig.13 The corresponding relationship between the amplitude of second harmonic and the amplitude of low frequency excitation

圖14 三次諧波隨低頻振動幅值的變化關系Fig.14 The corresponding relationship between the amplitude of third harmonic and the amplitude of low frequency excitation

圖15 指標R隨低頻振動幅值的變化關系Fig.15 The corresponding relationship between R and the amplitude of low frequency excitation

從圖11可以看出，基波隨低頻振動激勵電壓的變化而基本不變，而主要是由高頻振動電壓決定的。圖12中，我們可以看到在高頻振動電壓保持不變的情況下，左右調制邊頻均有隨著低頻振動激勵電壓增大而增大的趨勢。但圖13和圖14中我們可以看到，二次諧波及三次諧波均隨著低頻振動激勵電壓的增大而增大，這是因為隨著低頻振動激勵電壓的增大，結構振動振幅增大，因此在裂紋處的非線性明顯增大，非線性參數K2隨之增大，故導致了二次及三次諧波幅值的上升。

從圖15中可以看出，隨著低頻振動電壓的增大，指標R基本不變。為驗證拉力p0的變化對指標R的影響，在板兩端分別加載20 MPa、30 MPa、40 MPa、50 MPa、60 MPa的拉力，得到了指標R隨拉力的變化關系，如圖16所示。

圖16 指標R隨拉力p0的變化關系Fig.16 The corresponding relationship between R and tension force

從圖16中可以看出隨著裂紋面兩側拉力增大，指標R呈先上升后下降趨勢，先上升的部分與公式(22)的結論相同，而發生下降是因為隨著拉力的增大，裂紋間隙逐漸增大，部分區域不再處于接觸狀態，可發生振動聲調制的區域面積減小，導致邊頻調制諧波幅值將逐漸減小，而因板中的聲波可以繞過裂紋而直接到達傳感器，故兩基波幅值并不會明顯下降，進而造成了指標R的下降，當拉力足夠大時，裂紋將完全張開而不存在接觸面，故將不會存在振動聲調制現象，則邊頻調制諧波將不再存在。

4 結 論

(1)本文借鑒固-固界面的非線性彈簧模型，將其用于模擬裂紋的開合運動。建立了兩列一維簡諧波在含接觸界面固體中的傳播模型，通過公式推導，得到了兩列一維簡諧波在穿過接觸界面后的信號主要由基波、二次諧波和邊頻調制諧波組成的結論，并推導了其近似表達式，確定了傳感信號與各激勵參數之間的定量關系；通過分析發現基波僅與界面線性剛度K1相關，而邊頻調制諧波和二次諧波與線性剛度K1和非線性剛度K2均相關，并分析得到了常用指標R與剛度系數間的對應關系。

(2)通過采用含裂紋金屬板進行振動聲調制試驗發現：響應信號中不僅存在基波、調制邊頻諧波、二倍調制邊頻諧波，還存在二次諧波和三次諧波，且在高次諧波附近也存在調制邊頻諧波；隨著低頻振動激勵電壓的增大，高頻基波幅值基本不變，而調制邊頻諧波、二次諧波、三次諧波幅值均有增大趨勢；隨著低頻振動激勵電壓的增大，指標R無顯著變化，而隨著兩側拉力的增大，因兩剛度及裂紋面接觸區域的變化，會導致指標R呈先上升后下降的趨勢。

從理論及試驗的結論可知，對于含疲勞裂紋的板類結構中，其指標R會隨著外載荷的變化而變化，故在具體的工程應用中，特別是對于某些動部件，僅采用指標R的變化而判定損傷程度時[21]，需要注意外載荷對于指標R的影響；邊頻調制諧波和入射的基波是包含損傷信息的信號成分，考慮采用高低頻同時激勵與僅高頻激勵獲得的信號進行相減運算，并合理的進行帶通濾波處理，可有效獲取邊頻調制諧波及部分入射基波，基于此信號可實現損傷位置的監測，此項工作作者已另擇文發表[25]。

參 考 文 獻

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