多維立體式探究，讓核心素養在課堂教學中落地生根

錢兆蘭 劉德宏

探究式教學是新課標倡導的重要方式之一。課堂教學中，引導學生從多方向、多角度、多層次、全方位地開展立體式探究，可使數學學習真正發生，數學思維深度生長，核心素養落地生根。下面以《多邊形的內角和》教學為例，談談小學數學多維立體探究式教學的實踐與思考。

教學內容：

義務教育教科書四年級數學（上冊）第96—97頁。

教學目標：

1.通過觀察、操作等具體活動，探索發現多邊形的內角和與它的邊數之間的關系，用自己能理解的方式表示所發現的規律。

2.經歷探索多邊形內角和的過程，積累探索和發現數學規律的經驗，發展空間觀念，培養動手操作能力和合情推理能力。

3.在參與探索活動的過程中，進一步產生對數學的好奇心，感受數學活動的挑戰性和趣味性，增強學好數學的信心。

教學重點：

探索多邊形內角和的規律。

教學難點：

借探索多邊形內角和公式，獲得規律探究的一般方法。

教學過程：

一、聯系舊知，引入新課

師：同學們，圖形是我們數學學習的重要內容，你知道哪些圖形？

生：三角形、正方形、長方形……

師：大家說到的一些圖形，我們用三角板就可以拼出來（課件逐個出示三角板拼成的部分實圖：三角形、長方形、正方形、平行四邊形、四邊形、五邊形……）給我們的三角板越多，拼成的圖形形狀也就越多（課件出示三角板實物隱退后的抽象圖形）

指出：像這些由三條或三條以上的線段首尾相接圍成的平面圖形，它們有一個共同的名字，叫多邊形。（板書：多邊形）

師：三角形是最簡單的多邊形。（板書：三角形）

師：在多邊形中我們已經知道三角形的內角和是180°，你想到什么新問題呢？

生：四邊形、五邊形、六邊形等其他多邊形的內角和又分別是多少度呢？

師：問題提得真好！是呀，四邊形、五邊形、六邊形等其他多邊形，它們的內角和又分別是多少度呢？這當中有沒有什么規律呢？今天這節課我們一起來研究多邊形的內角和。（完善板書：多邊形的內角和）

【評析】學生已經知道三角形的內角和是180°，這是本課教學的知識生長點，“三角板拼圖形”不僅讓學生感悟圖形之間的關系，更順勢引導學生聯系舊知自主產生疑問，讓學生從發現問題、提出問題開始走向規律的探究之旅，并為接下來的“四邊形內角和探究”埋下伏筆。

二、引導參與，探究新知

1.多維探究，探索規律

師：老子說過“天下難事，必做于易”。 我們已經知道三角形的內角和是180°，下面讓我們從四邊形開始，展開對多邊形內角和的研究。課件上正好有幾個四邊形，看著他們，你覺得他們的內角和是多少呢？

生：360°。

生：我也覺得是360°。

生：360°。

師：你是怎樣想的？

生：正方形、長方形是四邊形，四個角都是直角，4個90°是360°，那么，我想其他四邊形的內角和也是360°。

生：我的想法和他一樣。

師：我們可以確定正方形、長方形的內角和是360°（課件在正方形、長方形四個內角處添加直角符號），但其他四邊形的內角和到底是不是360°呢？讓我們小組合作開始探究。

探究活動一：小組合作，探究四邊形的內角和是多少，初步感受分割法

師：請大家以小組為單位，選擇方法來探究“四邊形的內角和是不是360°”。

（課件出示活動要求： ①任選一個四邊形作為研究對象，標出其所有內角；②小組商議，確定驗證方法后動手實踐；③操作完成后，推選代表準備發言交流。）

（學生分組探究活動）

師：下面請每個小組將本組的驗證方法與結論和大家交流。

生：我們組用量角器分別量出4個角的度數后相加，發現四邊形內角和是360°。

生：我們參考以前學習三角形內角和的方法，把四個角撕下來拼到一起，發現剛好拼成一個周角，我們認為四邊形內角和是360°。

生：我們沒有量也沒有撕，我們小組從剛才用三角板拼圖形得到啟發，加了一條線把四邊形分成兩個三角形，再用 180°×2就得出我們這個四邊形的內角和是360°了。

師：沒有量也沒有撕，只加一條線，聽起來很簡單，給大家具體說說。

生：（實物投影）從頂點到相對頂點連一條線將四邊形分割成兩個三角形，原來的四個內角被分割成了六個角，分別在兩個三角形中，三角形的內角和是180°，再用180°×2就求出了四邊形的內角和是360°了。

師：“求四邊形的內角和”可以轉化成“求兩個三角形的內角和”（課件將學生展示的再逐步呈現），兩個三角形六個內角的和就是四邊形的內角和，分割、轉化是我們學習數學知識時經常用到的重要的數學方法。

師：有結果不是360°的嗎？

生：沒有。（若有，關注方法及測量誤差）

師：那還有不同證明方法嗎？

生：沒有了。

師：好，我們現在可以確認任意四邊形的內角和都是 360°。（板書：四邊形 360°）

師：量、撕、分割三種方法，你更喜歡哪種方法？

生：……

師：運用“分割法”將多邊形分成幾個三角形，幾個三角形的內角和就是多邊形內角和的方法較簡單。

【評析】四邊形的內角和是探究多邊形內角和的第一層面紗，從“自然量”“ 按需撕”到“嘗試分”是重要的思維跨越，給足時間、空間，引導學生數形結合，自主思考，小組合作探究，初步感知規律，滲透數學思想，發展思維。

探究活動二：引導多維思考，自主探究五邊形、六邊形的內角和，優化分割方法

（1）探究五邊形的內角和。

師：下面請大家從材料袋中取出老師給大家準備的五邊形，求出它的內角和。

生：自主操作。（師巡視）

匯報交流（實物投影）

生：我分割成了三個三角形（師引導生感受從任意一個頂點出發分割），180°×3=540°。

生：老師，我和他不同，我分成了四個三角形（師引導生感受從邊上任意一點出發分割），180°×4=720°。

師：現在出現了兩種結果，有沒有和這兩種都不一樣的了？

生：沒有了。

師：讓我們分別請這兩種結果的一位同學做代表，帶著他們的圖展示給大家看一下，請大家仔細觀察，說說你的想法。

（投影展示，學生觀察）

生：我認為720°的錯了，他多算了角。

生：我也認為720°的錯了。

師：他多算了哪里的角呢？（請生上來指一指）

師：是的，他多算了4個角，而且4個角的和正好是一個平角，那我們只要再用720°-180°就可以得出五邊形的內角和是540°。（板書：五邊形 540°）

師：分法不同，角的變化情況就不同，要靈活處理。

師：老師剛剛還看到有同學這樣（課件或投影，師引導生感受從圖形中間任一點到多邊形頂點連線分割）將多邊形分成了幾個三角形，你們看，又該怎樣處理呢？

生：他這樣分成5個三角形也可以，但中間多出了一個周角，要用180°×5-360°=540°。

生：對，把中間多出來的角減掉。

師：分法不止一種，請仔細觀察“從任意一個頂點出發分割”“ 從邊上任意一點出發分割”“從圖形中間任一點到多邊形頂點連線分割”這三種分法，他們分別分了幾次？五邊形被分成了幾個三角形？你覺得哪一種分法在算五邊形內角和時更方便？（課件示圖）

明確：從五邊形任意一個頂點出發，分別與它不相鄰的所有頂點（2個相對頂點）連線分最方便（不會產生新的角，只是將原來多邊形的內角進行了分割）。

（2）探究六邊形的內角和。

師：請你分一分，求出六邊形的內角和。

生：自主連線分割，求六邊形的內角和。

匯報交流并明確：

（課件出示圖）從六邊形任意一個頂點出發，分別與它不相鄰的4個相對頂點連線，將六邊形分割成4個三角形，則六邊形的內角和是180°×4=720°。（板書：六邊形 720°）

【評析】揭開四邊形的內角和這第一層面紗后，鼓勵學生自主遷移，從“任意一個頂點出發分割”“ 邊上任意一點出發分割”“圖形中間任一點出發分割”這三種分割方法重點對五邊形的內角和展開多維立體探究，進一步滲透數學思想，發展思維，培養數學核心素養。

探究活動三：探究其他多邊形的內角和，嘗試發現規律并小結明確

師：讓我們繼續探究其他多邊形的內角和。請同學們從材料袋中選一個或自己畫一個多邊形（六邊形以上、小組內爭取不同圖形），求出它的內角和，并小組填寫“表格一”。

生：自主探究填寫。

匯報交流：（板書）

七邊形 180°×5=900°

八邊形 180°×6=1080°

……

師：大家通過分割又快又好地求出了這些多邊形的內角和。接下來請大家再算算五十邊形的內角和。

生：……（動手畫，又放棄）

師：大家怎么不動手？

生：邊數太多，不好畫、分。

師：看來，碰上邊數較多的圖形，分一分還不是最好的方法，我們有必要來找找規律。請大家借助板書，小組完善“表格二”的填寫（課件出示“表格二”）。

生：小組填寫表格。

集體交流，完善課件表格填寫。

師：難事做于易，更做于細，請大家仔細觀察表格中相關數據，看看能發現什么，在小組里說一說。

生：觀察，小組交流。

集體匯報交流：

（1）多邊形的內角和與多邊形的頂點個數有關。

n邊形n個頂點，任意一個頂點有（n-3）個相對頂點，分（n-3）次，分成（n-3+1）個三角形，n邊形內角和為（n-3+1）×180°；

（2）多邊形的內角和與多邊形的邊數有關。

n邊形n條邊，分成（n-2）個三角形，多邊形內角和=（n-2）×180°

明確：

①（n-3+1）×180°=（n-2）×180°；

②我們一般用（多邊形的邊數-2）×180°來求多邊形的內角和。（板書：多邊形的內角和=（邊數-2）×180°）

2.立體切換，多維溝通

師：用乘法分配律將多邊形的內角和公式變一變，（邊數-2）×180°=邊數×180°-2×180°=邊數×180°-360°（課件出示四邊形分割配圖），你又有什么新發現？

生：……

說明：

“從多邊形中間任一點出發分割”比“從多邊形任意一個頂點出發分割”總是多出一個周角，只要“邊數×180°-360°”即可求出多邊形的內角和。“ 從多邊形邊上任意一點出發分割”和它們相通， 只要“（邊數-1）×180°-180°”即可，（邊數-1）×180°-180°=邊數×180°-360°。