線性代數(shù)中蘊(yùn)含的計(jì)算思維分析

馮宇杰

2006年，周以真教授對(duì)西蒙·派珀特博士在1996年提出的計(jì)算思維進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述，她認(rèn)為：計(jì)算思維是當(dāng)代每個(gè)人必須具備的思維能力和基本技能。這一理念提出后，受到了國(guó)內(nèi)外的廣泛關(guān)注，并在計(jì)算機(jī)教育和工程應(yīng)用中進(jìn)行了很多有益的探索和嘗試，以期將計(jì)算思維的培養(yǎng)擴(kuò)展到各個(gè)研究領(lǐng)域。計(jì)算思維是隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而體現(xiàn)出來(lái)的，以人腦為活動(dòng)主體，以算法為靈魂的構(gòu)造思維，是推動(dòng)人類文明進(jìn)步和科技發(fā)展的三大支柱之一。線性代數(shù)是一門(mén)兼具理論抽象和實(shí)際應(yīng)用緊密結(jié)合的課程，充分挖掘出蘊(yùn)含在這門(mén)課程各知識(shí)點(diǎn)背后的計(jì)算思維思想和方法，和我們的日常思維有機(jī)地結(jié)合，并體現(xiàn)在其他課程的學(xué)習(xí)和實(shí)踐環(huán)節(jié)中，對(duì)提升我們的學(xué)習(xí)效率和效果，培養(yǎng)我們的學(xué)習(xí)能力、計(jì)算思維能力和創(chuàng)新協(xié)作能力具有重要意義。

一、線性代數(shù)中蘊(yùn)含的計(jì)算思維

線性代數(shù)是理工科學(xué)生的基礎(chǔ)課程之一，廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)、力學(xué)、信號(hào)與信號(hào)處理、通信等學(xué)科。和其他基礎(chǔ)課程相比，內(nèi)容相對(duì)復(fù)雜，對(duì)象抽象。線性代數(shù)著眼于事物的總體，它從考察事物的總體出發(fā)抽出問(wèn)題和討論問(wèn)題，再?gòu)氖挛锏淖兓完P(guān)聯(lián)中尋求分析問(wèn)題的途徑、解決問(wèn)題的方法，而這正是計(jì)算思維的一種表現(xiàn)方式。

1.線性代數(shù)中蘊(yùn)含的系統(tǒng)分解、轉(zhuǎn)化和約簡(jiǎn)思想

計(jì)算思維是人們通過(guò)約簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化和仿真等方法將要解決一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題重新闡釋成一個(gè)知道問(wèn)題怎樣解決的方法，是采用抽象和分解來(lái)控制龐雜的任務(wù)或進(jìn)行巨大復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)的方法，或?qū)σ粋€(gè)問(wèn)題的相關(guān)方面建模使其易于處理的思維方法。線性代數(shù)中多個(gè)內(nèi)容都采用了在異中求同、化繁為簡(jiǎn)、各個(gè)擊破的思想，正是這種思維的體現(xiàn)。如行列式的展開(kāi)、矩陣的分塊求解、初等變換、求解線性方程組的過(guò)程、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型、基變換與坐標(biāo)變換等內(nèi)容中均體現(xiàn)出了約簡(jiǎn)的思想。通過(guò)這種變換，將復(fù)雜的計(jì)算化簡(jiǎn)成已知解決方法的問(wèn)題，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，提高了計(jì)算效率。

2.線性代數(shù)中蘊(yùn)含的啟發(fā)式推理思想

在線性代數(shù)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的講解中，均利用了啟發(fā)式推理的計(jì)算思維方法來(lái)尋求問(wèn)題的解答。如由低階行列式的計(jì)算過(guò)程推理出n階行列式的計(jì)算方法、由二維表格引出階矩陣的概念、由低維線性方程組的消元法求解過(guò)程引出矩陣的初等變換和初等矩陣的概念，進(jìn)而有了標(biāo)準(zhǔn)矩陣和矩陣的秩的概念、由向量組的秩和線性相關(guān)性推出線性方程組解的結(jié)構(gòu)等，都自然地體現(xiàn)了啟發(fā)式推理的這種在不確定情況下的規(guī)劃、學(xué)習(xí)和調(diào)度的思想方法。

3.線性代數(shù)中蘊(yùn)含的遞歸思想

遞歸是計(jì)算思維的重要組成部分，同時(shí)也是一種常用的解決問(wèn)題的思維方式，在現(xiàn)代很多領(lǐng)域中都有直接的應(yīng)用。遞歸思想在線性代數(shù)的多方面都有體現(xiàn)，如范德蒙行列式的證明；向量組的秩和向量組線性相關(guān)性的判斷；方陣的特征值間的關(guān)系和對(duì)應(yīng)的特征向量是否線性相關(guān)的判斷；通過(guò)初等變換求矩陣的逆；求向量空間的規(guī)范正交基；等等，這些均直接或間接地體現(xiàn)出了遞歸思想。

4.線性代數(shù)中蘊(yùn)含的可靠性保障思想

初等變換是研究矩陣、行列式、線性方程組及線性空間的最主要的思想方法。對(duì)特定對(duì)象進(jìn)行初等變換時(shí)，不但可以化大為小，化繁為簡(jiǎn)，而且能夠在變換的過(guò)程中保持這些對(duì)象的某些重要性質(zhì)不變，因此初等變換成為線性代數(shù)中廣泛應(yīng)用的一種思想。如求解線性方程組和矩陣方程、計(jì)算行列式、計(jì)算特征多項(xiàng)式、求特征值和特征向量、求二次型的標(biāo)準(zhǔn)型等都蘊(yùn)含了計(jì)算思維中可靠性保障思想。

計(jì)算思維還有其他多種釋義，如選擇合適的方式去陳述一個(gè)問(wèn)題、利用海量數(shù)據(jù)來(lái)加快計(jì)算、在時(shí)間和空間之間進(jìn)行折中的思維方法等，它們均在線性代數(shù)中有直接或間接的體現(xiàn)。所以，在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，要善于充分挖掘隱藏在各知識(shí)點(diǎn)后面的計(jì)算思維思想，使抽象的問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，促使矛盾向更容易解決的方向轉(zhuǎn)化。

計(jì)算思維既是數(shù)理思維的一個(gè)子集，也是工程思維的一個(gè)子集，這種思維符合認(rèn)識(shí)論的一般規(guī)律，因此學(xué)起來(lái)更簡(jiǎn)單，用起來(lái)方便，也可以進(jìn)一步推廣到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中。

二、案例

1.基于計(jì)算思維梳理教材內(nèi)容

基于計(jì)算思維的思想，將線性代數(shù)課本中的主要知識(shí)點(diǎn)，按照從具體到抽象，從實(shí)際到理論的認(rèn)知規(guī)律重新梳理和組織，應(yīng)用到后續(xù)的學(xué)習(xí)中，不但能較好地提高學(xué)習(xí)效率，同時(shí)也在學(xué)習(xí)的過(guò)程中自然地培養(yǎng)了我們的計(jì)算思維，提升我們的學(xué)習(xí)能力和對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的把握能力。

對(duì)知識(shí)點(diǎn)的梳理應(yīng)在對(duì)主要知識(shí)點(diǎn)把握恰當(dāng)?shù)幕A(chǔ)上，從應(yīng)用角度進(jìn)行合理組織和整合，將相關(guān)的理論知識(shí)和某類應(yīng)用進(jìn)行對(duì)應(yīng)，在此基礎(chǔ)上再根據(jù)需求提出問(wèn)題——分析討論解決問(wèn)題的方法——?dú)w納出必要的概念和結(jié)論。

2.實(shí)例

以下以線性方程組的解為線索，應(yīng)用蘊(yùn)含在線性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)后的計(jì)算思維設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)方案進(jìn)行討論。

（1）從應(yīng)用角度梳理和組織已有知識(shí)，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)方案并提出問(wèn)題。在學(xué)習(xí)完行列式知識(shí)后，引入了克萊默法則以求解一類特殊的n元線性方程組，但對(duì)該法則的理解和具體應(yīng)用的掌握還不夠深刻，應(yīng)采用循序漸進(jìn)的原則討論一般的n元m個(gè)方程的線性方程組的解的情況。以下根據(jù)求解此類方程組的應(yīng)用，設(shè)計(jì)了案例和問(wèn)題。

案例：求解一個(gè)n元m個(gè)方程的線性方程組。

問(wèn)題：解的存在性、唯一性及解的結(jié)構(gòu)。

（2）由特殊到一般組織思路，分析和討論問(wèn)題的解決方法。在分析上述問(wèn)題時(shí)，會(huì)先想到使用消元法求解，但消元法僅適用于m=n且n較小時(shí)情形。當(dāng)n較大時(shí)，可使用克萊默法則。再以克萊默法則的合理性和局限性為出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)一步組織知識(shí)結(jié)構(gòu)，引出矩陣和向量的有關(guān)內(nèi)容，以證明克萊默法則和求解m≠n的線性方程組問(wèn)題。

（3）歸納概念，得出結(jié)論。在解決上述問(wèn)題后，自然會(huì)想到m≠n時(shí)的線性方程組的解的情況，在分析問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步將矩陣的初等變換、矩陣的秩、向量組的相關(guān)理論等知識(shí)點(diǎn)列入了復(fù)習(xí)線索，在探索解決問(wèn)題的過(guò)程中自然而然地復(fù)習(xí)了相關(guān)的知識(shí)。

綜上所述，通過(guò)分析線性代數(shù)中蘊(yùn)含的計(jì)算思維并將計(jì)算思維引入線性代數(shù)的復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)中，圍繞“計(jì)算”這一核心，以應(yīng)用為出發(fā)點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)陌咐憧蓪⒄n程內(nèi)容按照一種新的思維重新組織，化抽象為具體，化特殊為一般，形成一種高效的符合認(rèn)識(shí)論規(guī)律的學(xué)習(xí)方案。這可以促進(jìn)我們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和利用有關(guān)知識(shí)解決專業(yè)問(wèn)題的自覺(jué)性，更好地培養(yǎng)我們的計(jì)算思維和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)增強(qiáng)將來(lái)服務(wù)社會(huì)的能力有極大的幫助。

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