讓學生在探究中樂享數學

翁雯雯

摘要：隨著課程改革的推進，調動學生積極主動參加探究性活動已經成為課堂教學的普遍追求。課堂教學如何開展探究性教學活動？下面從我的一節教學設計“等差數列的前n項和”談談自己的做法。

關鍵詞：學生；探究；數學

一、教材分析

本節課的主要內容是探究等差數列的前 項和公式，以及對公式的應用。學生之前已經學習了等差數列的定義和性質，這是本節課內容的知識基礎。求數列的前 項和是數列中的常見問題。探究公式的環節，主要采用了創設情境、問題驅動的方式，讓學生經歷發現問題、分析問題、解決問題的過程。這一過程涵蓋了數學推理、邏輯推理、數學模型等核心素養，涉及了首尾配對法、倒序相加法等數列求和方法。

通過本節課的學習，學生不僅能得到等差數列的求和公式，還能體驗推導公式的過程，培養其中的數學思想，強化數學核心素養。

二、教學目標設置

1、知識與技能：掌握等差數列前 項和公式的推導方法；掌握公式的運用。

2、過程與方法：通過公式的探索、發現，在知識發生、發展以及形成過程中培養學生觀察、聯想、歸納、綜合等邏輯推理的能力；通過對公式不同角度的剖析，培養學生思維的靈活性，提高學生分析問題、解決問題的能力。

3、情感、態度與價值觀：在公式探索的過程中，激發學生探究的興趣和欲望，增強學生學好數學的心理體驗。

重點：探索并掌握等差數列前 項和公式，學會用公式解決問題。

難點：等差數列前 項和公式推導思路的獲得。

三、教學過程設計

創設情境，提出問題

200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：

據說，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：

問題1、這是一個什么類型的問題？高斯的算法妙處在哪里？這可以叫什么方法？該方法應用了數列的什么性質？

預設：同桌相互交流，多名同學回答相互補充。這是一個等差數列 前100項的和的問題。前后配對的和都是101，共50對。這方法可以叫首尾配對。該方法應用了等差數列的性質：若 ，則 。

問題2、高斯問題項數是100項，正好配對，如果是奇數項，該如何配對？或者推廣到更一般的情形， 該如何計算？

預設：先獨立思考，再小組合作交流。

生1：對項數 進行分類討論，當 為偶數時，直接配對，當 為奇數時，也是配對，剩下中間一項。解答過程如下：

當 為偶數時，

；

當 為奇數時，

（解答中，發現尋找中間項非常困難，可將中間項看成首項和末項的等差中項。）

生2：當 為奇數時，將前 項配對，再與最后一項相加。

問題3、無論 為奇數或為偶數，其結果都是一樣的，有沒有其他解法？

啟發：將求和問題轉化為三角形圖案（圖一），在該圖案右側倒放一個全等的三角形圖案（圖二），補成一個平行四邊形，則每一行都為 。

生3：倒序相加。

得

所以，

（二）深入探究，理解公式

問題4、設等差數列 ，首項為 ，公差為 ，求等差數列 的前 項和公式。

預設：先獨立思考，再小組合作交流。發現用倒序相加法很快能得出公式。

?得

所以，

如果代入等差數列得通項公式， ，

也可以用首項 與公差 表示，即

幾何理解：用梯形面積公式來理解等差數列前 項和公式。

（三）公式應用，強化理解

例1、根據下列條件，求等差數列 的前 項和 。

（1） ；

（2） 。

練習1：已知等差數列 前10項和是310，

前20項的和是1220.求等差數列 的前 項和 。

練習2：等差數列 中， ，

求公差 及前 項和 。

四、教學過程反思

在數學核心素養的指導下，教學設計看中數學問題下的思維活動，課堂教學著重分析和思維的提高。通過本節課的教學設計，我認識到培育邏輯推理素養因圍繞問題展開。問題是數學的心臟。教師應精心設計有效準確、具有啟發性探究性的問題，讓學生經歷觀察、類比、分析、歸納等一系列探究過程，讓學生分析問題、理解問題，并最終解決問題，從而深刻領悟邏輯推理方法。本節課，根據教學難點，設計了一系列由易到難、從特殊到一般的問題環，激起學生探究精神。其次，培訓核心素養要在寬松、活躍的氛圍下進行。邏輯推理過程需要大膽質疑、合作交流，積極參與課堂教學活動。因此，教師應多鼓勵學生思考研究，發揮想象，提出創造性想法，展示學生的才華。