關注思維重在建模

黃斌

[摘 要]課堂關注的是思維能力的提升，落腳點是數學化的學習過程和數學建模。從“植樹問題”的角度對“間隔排列”這一課進行整體設計，引導學生在找規律中明確間隔的意義，在分類中理解間隔的內涵，在探究中尋找間隔的本質。

[關鍵詞]規律；思維；建模

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）11-0018-02

“間隔排列”是蘇教版教材三年級上冊的教學內容，被安排在“解決問題策略”這一單元的末尾，屬于數與代數領域中四項基本課程內容之一的“探索規律”。

讀教材編排：淡化知識，重視經驗

教材安排了五個層次的學習活動：通過對情境圖的觀察初步感知間隔排列這一現象；通過觀察、填表、比較、歸納等活動，探索間隔排列的兩種物體數量之間的關系，初步發現規律；通過提問“為什么每排兩種物體的數量都相差1”引領學生深入思考、細致分析；操作并思考“如果把正方形和圓一個隔一個排成一行，正方形有10個，圓最少有幾個？最多呢？”，通過操作進一步完善對間隔排列的兩種物體間數量關系的認識；回顧與反思，總結所獲得的知識，提煉習得的數學方法與思想。

教材編排強調學生的主動參與、經歷過程、體驗探索、積累經驗、收獲方法、領悟思想。

讀數學本身：結構明顯，系統清晰

教材中提供的“間隔排列”的教學素材可以向兩方面拓展和延伸：一是“植樹問題”，二是“周期問題”。

從下表可以看出，教材更傾向于“植樹問題”，那么設計這節課時能否從“植樹問題”的角度整體考慮？教學能否做到深入淺出，從而適應三年級學生的年齡特點和學習心理呢？

讀學生經驗：能力具備，差異存在

為了解三年級學生目前的知識積累程度和思維能力水平，我選取直屬學校的三個班級共152人，以及鄉鎮學校的兩個班級共98人進行學前調研，結果如下。

[問題1]聽說過“植樹問題”嗎？

鄉鎮學校：聽說過的占18%；直屬學校：聽說過的占25%。在教師初步解釋名詞后，表示見過此類題型或現象的學生各增加約40%。

[問題2]請說說下面兩個圖形按怎樣的規律排列？（圖略）

近100%的學生能找到規律，但語言表述不太完整；能用到“間隔”一詞的不到5%，少數學生能用“一個隔一個”來描述，有學生描述為“一個正方形和一個三角形一組一組出現的”。此題城鄉沒有顯著差異。

[問題3]下面三種排列方式有什么不一樣的地方？（圖略）

1.能說出圖（1）（2）是一直線排列，以及圖（3）是圍成一個圈的學生不少，有少數學生發現第（3）種排列是沒有“頭”的。此題城鄉沒有顯著差異。

2.在比較數量上，70%左右的學生能發現圖（1）的排列比圖（2）的排列多一個三角形，但很少有學生能把觀察的視角投向對比每組中三角形和正方形的個數，或者是找出三幅圖的數據之間的聯系。在語言的描述上，直屬學校明顯優于鄉鎮學校。

上述結果表明，三年級是學生發展思維水平的關鍵期和上升期，可以嘗試從整體出發的教學設計。

試整體設計：關注思維，重在建模

基于以上思考，我對這節課進行重新設計，以“植樹問題”為知識背景，先把“一一間隔”的排列規律分為“兩端相同”“兩端不同”“兩端相連”三種情況，整體呈現在學生面前，再引導學生通過“畫一畫”“數一數”“圈一圈”探尋三種間隔排列中的規律及規律存在的原因。在整個學習過程中關注學生數學思維，引導學生在觀察、比較、探索、推理、歸納的過程中自主建構數學模型。下面擇取部分課堂實錄與大家分享。

一、規律，明確“一一間隔”的意義

1.畫畫，初步發現規律

師（帶領學生一起畫正方形和三角形，板書如：□△□△□）：你能按照這里出現的規律接著往后畫嗎？

師：看來大家都畫對了，這說明大家都找到了規律。說一說你找到了怎樣的規律。

師：像這樣，兩個圖形一個隔著一個排列，數學上叫“一一間隔”。

2.判斷，深入提煉概念

師：下面這個圖形是不是一一間隔呢？

生1：不是一一間隔。

師：為什么？

生1：圖形畫歪了，不是在一條直線上。

生2：我認為是一一間隔。因為正方形和三角形還是一個間隔著一個排列的。

師：說得真好，掌握了規律的本質才能做出正確的判斷。這是一一間隔排列。

師（出示圖形：）：這是一一間隔嗎？

生（齊）：是。

師：這可是和前面兩個不一樣了，正方形和三角形都圍成一個圈。

生3：但它們還是一個隔著一個排列的。

師：兩個圖形或者是兩個物體進行排列，不管排成的是直線、曲線，還是圍成一個圈，只要是一個間隔著一個排列，就是一一間隔了。

二、分類，理解“一一間隔”的內容

1.比較，進行分類

師：這兩幅作品都是一一間隔，而且都排列成一條直線了，那有沒有不一樣的地方呢？

生1：個數不一樣。

生2：一個是兩邊都是正方形，一個的兩邊不一樣。

師：對，正如你們所說的，兩邊的圖形相同的一一間隔排列，數學上稱之為“兩端相同”。

2.判斷，引出第三類

師：看來，同樣是一一間隔排列，有兩端相同的情況，也有兩端不同的情況。請判斷下面物體的排列屬于哪一類。

生1：③是兩端不同。

師：請你來指一指兩端分別在哪里。

（生1挑選一個作為開始，另一個作為結尾）

生2：我認為③沒有開始和結尾。

師：像這種情況，兩端已經連在一起，形成了一個封閉的圖形。（板書：兩端相連，封閉）

師：其實“兩端相連”的情況和“兩端不同”的情況是有聯系的。（播放動畫：“兩端不同”的情況彎曲變成一個圓，從而變化成“兩端相同”的情況。）

三、研究，尋找“一一間隔”的本質

1.合作研究

PPT出示研究內容：一一間隔排列的兩個物體，個數之間有怎樣的關系？

指導研究方法：畫一畫、數一數、寫一寫結論。

小組合作完成表格：

2.集體分享

生1：我們小組通過研究發現，當“兩端相同”時，兩個圖形的個數相差1個；當“兩端不同”時，兩個圖形的個數一樣多；當“兩端相連”時，圖形的個數也一樣。

師：看來，不管你畫的是什么圖形，也不管你畫的圖形的個數有多少個，我們都得出了同樣的結論，正如剛才他們小組匯報的那樣。

3.一一對應思想

師： “一一間隔”排列有這么三種情況，為什么能得到這些結論呢？

生1：因為可以把一個正方形和一個三角形看作一組。（生1一邊說一邊在作品上圈一圈）

師：真不錯，把每一個正方形和一個三角形組成一組，相當于每一個正方形和每一個三角形對應起來了。數學上把這種方法叫作“一一對應”。（板書：一一對應）

……

綜上，“整體思維、重在建模”一直是本節課設計的核心思想，不同水平的學生在本節課中體驗著數學建模帶來的力量，享受著思維磨煉后帶來的成功的喜悅，這也正是我設計這節課所期盼的。

（責編 金 鈴）