以小見大有效拓展

劉愛格

[摘 要]“韓信分油”這一素材會進(jìn)入教材中，說明其有一定的數(shù)學(xué)教學(xué)價值。課本上有一道與“韓信分油”極其類似的習(xí)題——“水桶分水”，教師可借助此習(xí)題有效開展拓展性教學(xué)。在拓展性教學(xué)中，選材旨在追本溯源，建模貴在順藤摸瓜，遷移重在舉一反三。

[關(guān)鍵詞]水桶分水；韓信分油；拓展性教學(xué)

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）11-0029-01

拓展性課程不是無本之木，其源于教材，而高于教材。教材中數(shù)學(xué)思想豐富，能完整展現(xiàn)思維脈絡(luò)的習(xí)題是拓展性教學(xué)素材的首選。“韓信分油”這一素材之所以會進(jìn)入教材中，說明其有一定的數(shù)學(xué)教學(xué)價值。五年級教材上有一道與“韓信分油”極其類似的習(xí)題——“水桶分水”，它是很好的拓展性教學(xué)的素材。

一、選材旨在追本溯源

歷史名題，往往能營造出一種神秘、高深、肅穆的學(xué)術(shù)氛圍，從而引起學(xué)生好奇，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，促使教師在潛移默化中完成數(shù)學(xué)思想方法的滲透和數(shù)學(xué)技能的傳授。鑒于此，筆者將注意力集中到古典名題上。數(shù)學(xué)史上最早關(guān)于分油記載的是16世紀(jì)，當(dāng)時赫赫有名的意大利數(shù)學(xué)家馮坦那提出一個問題：有一瓶8千克的黃油，想倒出4千克，但沒有合適的量器，僅有5千克裝、3千克裝的空油瓶各一個。如何操作能僅用兩個油瓶從8千克的黃油中分出4千克黃油？無獨(dú)有偶，我國也有類似的游戲——“韓信分油”，原文是“3斤葫蘆、7斤罐、10斤油簍分一半”，翻譯成白話文，就是利用容量為3斤、7斤和10斤的三種容器平分10斤油。于是，“韓信分油”這一內(nèi)容的教學(xué)由此而產(chǎn)生。

二、建模貴在順藤摸瓜

對于本內(nèi)容，教材的定位是“就題論題”，許多一線教師也就照本宣科，就事論事。但考慮到名題效應(yīng)，其蘊(yùn)含的教學(xué)價值是一個無盡的寶藏，值得我們?nèi)ド钔陂_采。于是，筆者在扎根教材的基礎(chǔ)上，“借題發(fā)揮”，深入拓展延伸“韓信分油”的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，幫助學(xué)生生成建模思想，發(fā)展抽象思維能力。

三、遷移重在舉一反三

和大多數(shù)教師一樣，剛開始筆者對如何教學(xué)“韓信分油”一籌莫展，只是引導(dǎo)學(xué)生摸索著往下分，直到分出5斤為止。如果僅僅是這樣草草了事，經(jīng)典名題所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)價值就白白流失了。因此，有必要深入分析分油問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。通過分析，分油問題可以抽象出模型7A-3B=5（7的倍數(shù)與3的倍數(shù)之差5）或者3B-7A=5（與3和7勾兌后構(gòu)成5）。建模能為學(xué)生提供分油的方略，接下來學(xué)生只需按圖索驥，分步填表即可。

由此可見，教學(xué)的難點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會建模，把一個復(fù)雜的生活問題，提煉抽象成一個直觀簡潔的數(shù)學(xué)模型，再借助表格法進(jìn)行推演、運(yùn)算。因此，教師在教學(xué)“水桶分水”時要精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程，讓分水的過程具有算術(shù)性。

第一步，嘗試著分。坦白講，“水桶分水”習(xí)題具有極大的挑戰(zhàn)性。因此，應(yīng)先用馮坦那的分油問題做引子：水缸邊有容積為5升和3升的兩個空水壺，你能借助它們舀出多少水？有的說“5+3=8（升）”，有的說“5-3=2（升）”，還有的說“3+3-5=1（升）”。這一過程看似贅余，實(shí)則“磨刀不誤砍柴工”，學(xué)生通過簡易的分水法，獲得寶貴經(jīng)驗(yàn)，鋪好臺階，才方便登上高臺。

第二步，比較著分。要求學(xué)生嘗試用簡易直觀的方式展現(xiàn)獲取1升水的流程。學(xué)生基本上用三種方式：語言描述法、圖示法和表格分析法。先引導(dǎo)學(xué)生比較辨析，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)表格法的簡潔，初步完成模型的抽象提煉；然后再現(xiàn)填表過程，力爭簡短有力；大部分學(xué)生認(rèn)識到表格法對于建模的效果。教師但不能只滿足于此，應(yīng)進(jìn)一步要求學(xué)生從表格法中歸納提煉出算式。

第三步，模仿著分。原先是用3升水壺舀水，5升水壺倒水。現(xiàn)在反過來操作，合理遷移，合情模仿。允許部分學(xué)生憑空想象分水，部分學(xué)生填表分水，但無論哪種方法，都要做出解釋。當(dāng)然，匯報(bào)展示時要嘉獎既選擇算式又用表格法的學(xué)生，為下一步做好鋪墊。

第四步，有序地分。設(shè)計(jì)拓展問題：若取水4升，又該怎么分？優(yōu)生會在分出1升水后，再取3升得到4升；大多數(shù)學(xué)生會選擇重新推演。教師可用問題“你優(yōu)先選擇算式還是表格？”來引導(dǎo)學(xué)生做出決策。列算式法與表格法的互補(bǔ)作用，能有效引導(dǎo)學(xué)生有序分水。

第五步，靈活地分。教學(xué)到此，學(xué)生會利用5升水壺和3升水壺勻出1升和4升水。這與“韓信分油”有何淵源？抓住這一問題要害，促使學(xué)生進(jìn)行深度研析。學(xué)生說：“現(xiàn)在有3個容器。”教師追問：“那剛才呢？”其實(shí)剛才也是3個容器，水缸是一個大容器。學(xué)生從中明白了簍子相當(dāng)于水缸，不是參與分水的量器，分水的量具為7斤水壺和3斤水壺。于是得到：3×3-7=2，2+3=5。

對于拓展性教學(xué)，對象是所有學(xué)生，實(shí)現(xiàn)有教無類；選材，要扎根教材，借助數(shù)學(xué)名題的效應(yīng)來激趣；教學(xué)，要抓住要害，精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程。只有這樣，才能使拓展落地生根。

（責(zé)編 黃春香）