數學實驗：兒童數學經驗的原點式突圍
——以《平面圖形的復習》教學為例

江蘇吳江經濟技術開發區花港迎春小學 徐建林

數學實驗作為當今數學教育的研究熱點，經常被提及。從廣義而言，每個數學學習階段對“數學實驗”的解讀不盡相同，但其本質都指向學生猜想與驗證的科學發現路徑。早在20世紀50年代，蘇聯教育家凱洛夫在《教育學》中就提出：“教學過程中要發揮學生學習的主體性，學習應從接受性的學習變為創造性的學習，把教師的傳授從再現型的教學變為發現型的教學。”在《義務教育數學課程標準 （2011年版）》中，首次明確提出了“基本活動經驗”，數學實驗不僅讓發現式教學找到了可實現的支點，并作為兒童構建數學活動經驗的有效手段，讓我們得以再度審視兒童學習中的 “間接經驗”與“直接經驗”的辯證存在，更據此進一步尋求現有認知經驗下的突圍。

一、引發經驗突圍的數學實驗的課例追思

《平面圖形的復習》一課是蘇教版數學六年級下冊中的教學內容。在本課中，教材主要針對學生在小學階段所有學過的平面幾何知識進行梳理，其內容版塊主要是：（1）直線、射線、線段；（2）角；（3）三角形、四邊形、圓。就教材的編排而言，既按照了學生學習知識的時間先后順序，又遵循了由易到難的認知規律，應該是非常妥帖的。對此，筆者分別在本區3所學校進行試教（本校、市屬小學、農村校），在試教的過程中，當學生完成了關于線的相關問題后（圖1），便按照教材要求完成書本指定的練習（圖2）。

圖1

練習與實踐

1.要把一根細木條固定在墻上，至少需要釘幾枚釘子，為什么？

2.從A地到B地有三條路（如圖2），走哪條路最近？

圖2

在兩個生活實踐題的反饋上，三所學校學生的問題幾乎全部一致，知道結果卻不知道蘊含什么數學原理。如第一個問題，在試教中，學生幾乎第一時間內不假思索地回答把木條釘在墻上至少需要兩枚釘子，但詢問原因時，學生皆面面相覷，雖然在我的再三啟發下，勉強能和線段的知識結合起來，理由是線段有兩個端點，所以是兩枚釘子，即便如此，但是離標準答案“兩點之間有且只有一條直線”還相差甚遠。課后，我進行抽樣訪談，很多學生表示知道“兩點之間有且只有一條直線”這句話，但都很為難地表示“真不知道”或是“真想不到”會用在這個生活事例中。

翻閱歐幾里得的 《幾何原本》，“過兩點能且只能作一條直線”作為一條公設提出，公設是幾何學里不需要證明的基本原理，即現代幾何學的公理，如此淺顯的一條公設為什么會難住如此多、已富有諸多生活經驗（數學經驗）的六年級學生。筆者認為原因有二：

1.學習經歷問題

回顧這一公理的得出，在小學低年級階段，它是依托學生不斷在兩點間畫直線得到。對于兒童來說，哪怕最淺顯的道理，我們總會讓學生有經歷操作的過程，所謂：“我聽過了，我就忘了；我看見了，我就記得了；我做過了，我就理解了。”但是總復習中知識是點狀式分布的，更多的是概念特質的抽象再現，剝離了具體的操作，學生則無法理解具體生活背后抽象的數學原理。

2.認識水平問題

小學階段學生的思維水平由前運算階段發展到具體運算階段，這其中還涉及學生語言思維水平的發展。生活是豐富多彩的，但其背后蘊含的數量關系和空間形式對學生而言又是極為抽象的，現有思維尚不能支撐其自如地游走在具體的生活世界與抽象的數學世界中，學生無法抽象生活元素，自然無法用語言表達。

因此在紛繁的現實生活與抽象的數學世界中，必然需要以數學實驗為認知橋梁，便于學生整合碎片化的經驗，從而實現經驗的原點式突圍。

二、實現經驗突圍的數學實驗的教學實踐

德國哲學家康德《純粹理性批判》一書中直指“經驗”的要害說：“人的認知絕非僅僅局限在經驗這個領域內。經驗會告訴人們是什么，卻不會告訴人們它一定會是什么而不會是其他什么，因此知識不會在經驗中就能夠得到滿足的。”從這個角度而言，經驗是會對人造成認知局限的，同時基于試教時發現的有經驗卻無法連接的問題。筆者嘗試將《平面圖形的復習》變成實驗課并取名為《跑動的小“·”》，在教學實踐中我發現這樣的創設，不僅很好地克服了復習只是為了喚醒經驗，知識點狀式再現的單維現象，更創生出了兒童數學經驗再發生、再發展、再創造的多維價值。

1.數學實驗應架在兒童的具體抽象漸變區，讓理解再豐富

數學來源于生活，又高于生活。抽象是數學學科的重要特色之一，為了實現數學與生活的無縫鏈接，我首先出示課題《跑動的小“·”》，讓學生讀題，當學生讀到“·”時紛紛既驚喜又疑惑地問：“這是什么呢？”我順勢引導學生從平面圖形的角度去想并提問：“同一平面上有點A和點B，你想到了什么？試著把你想到的畫下來。”接著學生依據所畫的圖（如圖3）圍繞其特征進行了匯報。我提問：“假如從長度的角度考慮呢？”學生發現：線段AB最短，接著是曲線AB，最后射線AB、射線BA、直線AB都是無限長，我追問：“為什么線段AB最短呢？”由于學生剛剛重拾了實驗的過程，很容易得到：兩點之間線段最短。我繼續問：“你見過這樣的生活事例嗎？”有學生說，在學比例尺的時候，題目都會說算某個地方到某個地方的直線距離，事實上我們走的都不是直線距離，是彎彎曲曲的，所以實際距離更長。我再次提問：“像這樣的線段AB，射線AB，直線AB，你們在生活中見過這樣的事例嗎？”有學生說，假如一棵樹看成一個點，另外一棵樹看成另外一個點，兩棵樹之間拉一根繩子就是一條線段；還有的說，晾衣服的時候，一個夾子看成一個點，另外一個夾子看成另外一個點，拉直的袖子就能看成一條線段；有學生總結發現，兩個點之間總能確定一條線段，一端無限延長就是一條射線，兩端無限延長就是一條直線。依據學生的述說，再出示書本的生活實踐題，學生很容易說明其中的數學原理。

圖3

通過一個或者幾個生活實例，可以抽象得到數學原理（知識），通過一個數學原理（知識）可以解釋多個生活實例，這是認識上的不對等，再加之假如那些事例未必是學生生活中常有的，這樣就造成了陌生化。在這個環節中，我首先用數學實驗提取了學生已有的知識經驗，再讓學生通過自己的生活體驗找到生活中的模型并加以說明，最后回到解釋書本上指定的生活模型，這樣一來很好地在具體抽象的漸變區用數學實驗建立了緩沖帶，讓學生得以在“具體—抽象—具體”中自由行走，但此刻的“具體”已不再是最初的“具體”了。

2.數學實驗應架在兒童認知最近發展區，讓認識再發生

圖4

圖5

哲學家培根在《新工具》一書中說：“經驗是認識的起點、認識的依據，又是整個認識過程的伴隨物。”從這個角度而言，經驗提供給了我們認識新事物的方法。為此，我在教學“角”的環節中，繼續用數學實驗的方式幫助兒童拓展數學概念。首先，我出示方格子圖說明：“射線AB外有一點C，連接AC，這樣就形成了一個銳角（圖4）。 想一想：假如C點跑起來，還能形成哪些角？”學生紛紛動手實驗起來。學生根據以往的經驗，得到了銳角、直角、鈍角、平角、周角（如圖5）。 突然有學生問：“在C點跑動中，C點0°角和平角之間中出現了很多角都有名稱，而C點跑到平角和周角的區域中也有很多角，這些角會有名稱嗎？”一石激起千層浪，班上一個閱讀豐富的同學補充，當角大于180°小于360°是優角。于是，我指著優角追問：“這個是優角，那剩下另外一部分度數的角，你們推論一下叫什么角？”學生七嘴八舌地議論起來，有學生說：“劣角。因為優的反義詞是劣。”我肯定后繼續問：“回憶下我們的實驗過程，你們覺得劣角應該是多少度呢？ ”“0°到180°之間。 ”于是，就得到了新的分類標準（圖6）。

圖6

維果茨基的最近發展區理論認為：兒童有兩個水平，第一個是現有的發展水平，第二個是潛在的發展水平，同時他還指出教學不應該指望于兒童的昨天，而應指望于他的明天。在本環節中，我繼續使用數學實驗的方式，讓點C在方格紙上“跑”起來，學生依據舊經驗得到了各種學過的角的同時，還依據實驗推論得出了未知領域的新發現，這是學習的勇氣和智慧。“我們把經驗用作跳板，跳向一個新的發現，然而，經驗在擺脫掉舊觀念加諸于它的那些限制后，卻充滿了推論。”這樣的推論給了知識以新生并賦予經驗深度和廣度，最大限度地擴充了兒童的認知視閾。

3.數學實驗應架在兒童經驗密集整合區，讓經驗再創變

杜威說：“經驗的過程也是生命的過程、探究的過程，它內含著自主推論、聯結等主體內容。”在現有知識經驗下，學生看事物往往都是割裂的，為了打破經驗的邊界，實現知識的聯結與創變，我設計了讓點C“跑”起來的三角形實驗（圖7）。

我首先讓學生思考：1.確定一條與線段AB的平行線，點C在平行線上跑，想想能得到哪些三角形？2.點C在一條垂直于線段AB且把線段AB平均分的直線上跑，想想能得到哪些三角形？在匯報過程中，有的學生說：“點C在平行線上跑，可以得到銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。”接著有學生補充發現：“運氣好的話，也能得到等腰三角形或者等邊三角形，主要看平行線和線段AB的距離。”接著又有學生說：“點C在中間的線上跑得到的都是等腰三角形，運氣好的話能得到等邊三角形。”我追問：“你覺得是可能得到還是一定會得到？為什么？”學生說：“既然能出現等腰三角形，必然有等邊三角形，因為等腰三角形包括等邊三角形。”還有學生發現說：“銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形、等邊三角形不是截然分開的，只是看的角度不同。例如：等邊三角形肯定是銳角三角形，圖中（如圖7）點C在中間的線上跑所有的都是等腰三角形，也能出現銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。”于是，有的學生發現了：等腰直角三角形，等腰銳角三角形，等腰鈍角三角形。

圖7

鄭毓信教授說：“數學知識，不在于求全，在于求聯。”三角形的分類中需要大量的三角形的細分概念參與，但是學生很少能整合起來看三角形的屬性問題，對其辨識都是“不是……就是……”的二元對立，而不是“既是……又是……”的多維視角，通過跑動的點C數學實驗，學生不僅再一次經歷了幾何意義上的三角形的形成，在發展空間觀念、深化概念的同時，更讓沉寂已久的經驗如同一個個活躍的小分子相互撞擊、相互作用，形成了新的產物。正如杜威而言，那種“充滿活力”的經驗是實驗性的并力圖達到未知事物的特征。

4.數學實驗應架在兒童思維量變質變區，讓思維再深刻

圖8

圖9

學生在六年的學習中已經積累了大量的數學活動經驗。為了經驗繼續發酵突變，我繼續以跑動的“·”為數學實驗，只不過這次出現C、D兩點。我提問：“線段AB外有C、D兩點，連接A、B、C、D，可以得到哪些我們學過的平面圖形？”學生實驗后得到如圖8。他們發現：梯形最容易得到，只要CD與AB平行就好；平行四邊形在梯形的基礎上讓上底與下底變得一樣長；長方形在平行四邊形的基礎上加鄰邊垂直；正方形最麻煩，在長方形的基礎上加鄰邊長度相等，條件最多。由此，通過數學實驗便得到各圖形的概念特征，為了繼續深入，我接著先出示第一個梯形ABCD（圖9），緊接著出示第二個、第三個，提問：“你發現了什么？”學生說：“C、D兩點越來越近了。”我追問：“猜想一下，CD越來越近了，會變成什么呢？”生：“三角形。”我追問：“這個過程你發現了什么？”有學生說，三角形來源于梯形。有學生說，三角形和梯形有聯系。我暗示：“聯系以往的學習經驗，你覺得有什么更深的聯系呢？”在我的啟發下，有學生從面積計算公式角度進行了思考，得出了梯形面積計算公式和三角形面積計算公式的相通處。緊接著我提問：“D點不動，C點往右跑，你又有什么發現呢？”學生順勢馬上得出了平行四邊形面積計算公式和梯形面積計算公式的相通之處，實現了面積計算公式的化歸。

圖10

香港大學教育心理學教授比格斯首創的“SOLO”分類評價理論認為，某個問題的學習結果可以由低到高劃分為五個層次：前結構、單點結構、多點結構、關聯結構和抽象拓展結構，其中前三個層次是基礎知識的積累，后兩個層次是理論思維的飛躍。回顧以往的復習，更多的是集中在前三個層次的原點式復習，經驗的原點式打轉，為此讓學生通過四邊形的實驗操作，不僅找到了平面圖形之間的關聯結構，實現了對面積計算公式的突破性理解，更猶如一根導火索點燃了思維的火焰，讓經驗在推理的作用下走向了思維的質變，獲得了更為豐富的、擴大的意義。

馬克思說，實踐意味著對實踐本身的突破。從這個意義上說，數學實驗在被看作是幫助兒童構建數學經驗的有效手段的同時，更應看到其在已有經驗拘囿下突圍的積極意義，這不只是一種從無到有的建構，更是一個由舊到新的發展創變歷程。正如杜威所言：“教育是經驗的改造與改組，是由于經驗和為著經驗的一種發展過程。”就讓我們沿著兒童數學經驗發展的每一個關鍵區，建設一座座數學實驗的橋梁，看著他們“自由地從一道瀑布迅速地跳到另一道瀑布。”?

[1]凱洛夫.教育學[M].北京：人民教育出版社，1952.

[2]康德.純粹理性批判[M].北京：中國人民大學出版社，2004.

[3]唐斌.教育的經驗詮釋——杜威教育哲學疏論[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014.

[4]杜威.經驗與教育[M].北京：人民教育出版社，2005.

[5]瑪利亞·蒙臺梭利.童年的秘密[M].北京：京華出版社，2002.