基于灰色-馬爾科夫模型的糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)

樊 超， 郭亞菲， 曹培格， 楊鐵軍

(河南工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，河南鄭州 450001)

糧食是人類賴以生存、社會(huì)進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的基本生活資料，其產(chǎn)量嚴(yán)重影響著糧食的安全體系，進(jìn)而關(guān)系到能否滿足人們的生存需要，它是整個(gè)國(guó)家安全系統(tǒng)的重要組成部分。因此，糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)在農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)管理中起著決定性作用。

通常為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)糧食產(chǎn)量，主要采用以下4類模型：遙感預(yù)測(cè)模型[1]、氣候生產(chǎn)力模型[2]、投入產(chǎn)出模型[3]、多元回歸和因子分析模型[4]。這些模型和方法均從不同角度對(duì)糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)進(jìn)行了研究，并得到一些有意義的研究結(jié)果。但是上述模型在預(yù)測(cè)產(chǎn)量時(shí)，存在數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)處理復(fù)雜、考慮影響因素有限等缺點(diǎn)。近年來，隨著智能技術(shù)的發(fā)展，灰色系統(tǒng)理論預(yù)測(cè)與專家系統(tǒng)相結(jié)合的預(yù)測(cè)、模糊推理預(yù)測(cè)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)等新技術(shù)避免了傳統(tǒng)方法的很多缺陷，被廣泛應(yīng)用。例如，基于粗糙集理論、自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA)、小波變換、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及組合預(yù)測(cè)等技術(shù)的糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)方法[5-8]。但是由于糧食生產(chǎn)受到多種因素的影響，導(dǎo)致數(shù)據(jù)具有較大的波動(dòng)性和不確定性。從預(yù)測(cè)結(jié)果來看，上述方法均存在一些不足，或者沒有考慮糧食生產(chǎn)的灰色性及信息收集的不系統(tǒng)性，或者算法適應(yīng)性差，預(yù)測(cè)精度不高。

由于糧食生產(chǎn)具有明顯的灰度特征，因此可以使用灰色模型預(yù)測(cè)糧食產(chǎn)量。傳統(tǒng)的灰色模型雖然能有效地預(yù)測(cè)少量數(shù)據(jù)的序列，但隨著數(shù)據(jù)的增多和波動(dòng)性的增大，該模型逐漸失去了它的優(yōu)勢(shì)[9]，而馬爾科夫模型預(yù)測(cè)可以應(yīng)用于隨機(jī)變化的時(shí)間序列中，彌補(bǔ)灰色模型的不足[10]。因此，本研究將上述2種模型相結(jié)合，使兩者優(yōu)點(diǎn)互補(bǔ)，充分利用歷史數(shù)據(jù)包含的信息，采用灰色-馬爾科夫模型對(duì)糧食產(chǎn)量進(jìn)行短期精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。

1 模型建立

1.1 灰色GM(1，1)預(yù)測(cè)模型

灰色GM(1，1)模型是以微分?jǐn)M合為核心的一種建模方法，其基本原理是對(duì)雜亂無章的原始數(shù)據(jù)列進(jìn)行“累加”，生成新的單調(diào)遞增的數(shù)據(jù)列，增加原始數(shù)據(jù)列的規(guī)律性，弱化其波動(dòng)性。按照累加后序列的增長(zhǎng)趨勢(shì)建立預(yù)測(cè)模型，得到1組單調(diào)遞增數(shù)據(jù)。然后對(duì)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)采用“累減”的方法進(jìn)行逆運(yùn)算，恢復(fù)原時(shí)間序列，得到預(yù)測(cè)結(jié)果。GM(1，1)模型建模步驟如下：(1)設(shè)原始時(shí)間序列X(0)包含n個(gè)非負(fù)元素，即

X(0)=[X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n)]。

(1)

由該序列生成1次累加序列X(1)

X(1)=[X(1)(1),X(1)(2),…,X(1)(n)]。

(2)

(3)

(2)生成累加序列X(1)的緊鄰均值序列Z(1)，

Z(1)=[Z(1)(1),Z(1)(2),…,Z(1)(n)]。

(4)

(5)

(3)構(gòu)建累加序列X(1)的一階微分方程

(6)

其中參數(shù)a、b可由下式計(jì)算

[a,b]T=(BTB)-1BTY。

(7)

(8)

(4)求解微分方程，得到如下GM(1，1)模型

(9)

(5)由累加序列還原原序列

(10)

1.2 馬爾科夫模型

馬爾科夫方法的基本思路是通過原始數(shù)據(jù)求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)未來的變化狀態(tài)進(jìn)行概率估計(jì)。

馬爾科夫模型可表示為

X(n)=X(t)pn-1。

(11)

式中：X(n)、X(t)分別為n、t時(shí)刻的狀態(tài)概率向量，p為1步狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣。利用馬爾科夫模型對(duì)灰色模型進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，首先須要對(duì)預(yù)測(cè)精度進(jìn)行劃分，然后確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，最后使用馬爾科夫模型對(duì)結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化。具體步驟可描述為以下4步。

1.2.1 狀態(tài)劃分 根據(jù)灰色模型預(yù)測(cè)值和真實(shí)值的比值將數(shù)據(jù)樣本劃分成若干狀態(tài)，狀態(tài)個(gè)數(shù)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)元素的數(shù)量而定。劃分的狀態(tài)可用Ei表示，任一狀態(tài)可表示為Ei∈[Emin，Emax]，其中Emin和Emax分別是狀態(tài)Ei的最小值和最大值。

1.2.2 構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣 該矩陣反映各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律，可表示為

(12)

式中：pij(k)=mij/mi，表示由狀態(tài)Ei經(jīng)過m步轉(zhuǎn)移后到狀態(tài)Ej的概率。其中mij表示由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，mi表示原始數(shù)據(jù)落入狀態(tài)Ei的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。通過考察狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣p(m)，即可預(yù)知系統(tǒng)未來的狀態(tài)轉(zhuǎn)向。

1.2.3 編制預(yù)測(cè)表 根據(jù)上一步得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，選取1步或n步轉(zhuǎn)移，編制預(yù)測(cè)表并將相應(yīng)轉(zhuǎn)移概率填入表中。然后對(duì)預(yù)測(cè)表的列進(jìn)行求和，其中最大列所在的狀態(tài)即為下一步(或n步)最有可能所處的狀態(tài)。

1.2.4 計(jì)算預(yù)測(cè)值 針對(duì)上一步所確定的預(yù)測(cè)對(duì)象最有可能的狀態(tài)轉(zhuǎn)移Ei以及狀態(tài)劃分規(guī)則，計(jì)算馬爾科夫預(yù)測(cè)值。

1.3 灰色——馬爾科夫預(yù)測(cè)模型

由于傳統(tǒng)的灰色模型主要適用于預(yù)測(cè)時(shí)間短、數(shù)據(jù)資料少、波動(dòng)不大的系統(tǒng)對(duì)象，對(duì)于隨機(jī)波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)精度較低。而在馬爾科夫模型中，通過轉(zhuǎn)移概率可以反映隨機(jī)因素的影響程度，彌補(bǔ)了灰色預(yù)測(cè)的局限性，但要求預(yù)測(cè)序列具有馬氏鏈平穩(wěn)過程等均值的特點(diǎn)。因此，本研究將灰色預(yù)測(cè)模型和馬爾科夫模型相結(jié)合，在提高GM(1，1)模型預(yù)測(cè)精度的同時(shí)，又降低了模型對(duì)序列穩(wěn)定性的要求。算法步驟可描述為：(1)利用灰度建模方法構(gòu)造糧食產(chǎn)量序列的灰色GM(1，1)模型，并利用該模型得到原序列的預(yù)測(cè)序列。(2)計(jì)算模型預(yù)測(cè)誤差，構(gòu)造誤差預(yù)測(cè)模型，并利用該模型對(duì)產(chǎn)量預(yù)測(cè)模型進(jìn)行修正。同時(shí)得到修正后第n+1年的預(yù)測(cè)值。(3)計(jì)算原序列和修正預(yù)測(cè)序列對(duì)應(yīng)元素之間的比值，劃分狀態(tài)區(qū)間，得到狀態(tài)序列，并依據(jù)此序列得到新的預(yù)測(cè)序列，計(jì)算序列的自相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而得到權(quán)重序列。(4)將狀態(tài)序列轉(zhuǎn)化為概率轉(zhuǎn)移矩陣，并根據(jù)各階轉(zhuǎn)移概率密度矩陣和權(quán)重系數(shù)序列，確定歷年?duì)顟B(tài)對(duì)預(yù)測(cè)年所處狀態(tài)的影響概率。(5)根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率及權(quán)重系數(shù)，計(jì)算預(yù)測(cè)年的糧食產(chǎn)量。將此產(chǎn)量數(shù)據(jù)加入原數(shù)據(jù)序列，同時(shí)去掉序列中的第1個(gè)元素，構(gòu)成新陳代謝灰度模型，并用基于誤差修正的灰度模型預(yù)測(cè)第n+2年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)。(6)重復(fù)步驟(1)～(5)得到第n+3、n+4，…等年份的糧食年產(chǎn)量預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。綜上，基于灰色-馬爾科夫模型的糧食年產(chǎn)量預(yù)測(cè)算法流程見圖1。

2 基于灰色-馬爾科夫模型的全國(guó)糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)

為了進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)精度，本研究對(duì)GM(1，1)預(yù)測(cè)模型的誤差進(jìn)行修正。為此，首先計(jì)算預(yù)測(cè)誤差序列E(10)，使用公式(13)進(jìn)行計(jì)算：

E(10)=X10-X10。

(13)

由此得到的誤差序列如表1所示。為了對(duì)誤差序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，須要將誤差序列轉(zhuǎn)化為非負(fù)序列。為此，尋找序列E(10)的最小值E(10)min=-2 944，取其絕對(duì)值|E(10)min|，將序列E(10)加上該絕對(duì)值，從而將誤差序列轉(zhuǎn)化為非負(fù)序列E(11)，即E(11)=[2 944，4 352，3 729，0，2 756，3 060，3 223，2 415，3 872，2 829，3 086]。

表1 2000—2010年糧食年產(chǎn)量的灰色預(yù)測(cè)及修正預(yù)測(cè)值

考慮到糧食生產(chǎn)受到各種因素的影響，而各種因素的影響又具有連續(xù)性，本研究使用馬爾科夫鏈描述歷年產(chǎn)量對(duì)預(yù)測(cè)年產(chǎn)量的影響。因此，首先計(jì)算原序列和預(yù)測(cè)序列對(duì)應(yīng)元素之間的比值，構(gòu)成比值序列R，即

(14)

由此得到序列R的最小值Rmin=0.914 36，最大值Rmax=1.009 00，將序列R在Rmin～Rmax內(nèi)劃分成3個(gè)區(qū)間，即3種狀態(tài)：區(qū)間1(狀態(tài)1)，[0.91，0.97)；區(qū)間2(狀態(tài)2)，[0.97，0.99)；區(qū)間3(狀態(tài)3)，[0.99，1.01]。

(15)

對(duì)X(11)中的所有元素按照上述方法轉(zhuǎn)化為新的預(yù)測(cè)序列，得到Y(jié)1=[46 217，44 859，45 968，44 278，47 304，48 473，49 671，48 822，53 222，53 447，54 768]。同時(shí)，根據(jù)狀態(tài)序列S的元素值，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣F(fij)，元素fij表示狀態(tài)序列中由狀態(tài)i轉(zhuǎn)向狀態(tài)j的頻數(shù)(即次數(shù))。

(16)

(17)

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P(1)，選取距離預(yù)測(cè)年份(2011年)最近的3個(gè)年份，按其距離遠(yuǎn)近將轉(zhuǎn)移步數(shù)分別定為k=1，2，3，即2010年轉(zhuǎn)移步數(shù)為1，2009年轉(zhuǎn)移步數(shù)為2，2008年轉(zhuǎn)移步數(shù)為3。然后計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù)rk，計(jì)算公式如下：

(18)

(19)

(20)

式中：n表示預(yù)測(cè)模型中元素的總個(gè)數(shù)。

之后對(duì)各階自相關(guān)系數(shù)進(jìn)行歸一化，得到權(quán)重系數(shù)序列W，其中元素Wi的計(jì)算方法如下：

(21)

(22)

(23)

所以W=[0.536 66，0.359 25，0.104 09]。由于本研究只考慮最近3年對(duì)預(yù)測(cè)年份的影響，因此，可計(jì)算每年的轉(zhuǎn)移概率密度矩陣P(2)、P(3)，計(jì)算方法見公式(24)、(25)。

(24)

(25)

根據(jù)狀態(tài)矩陣，2008—2010年的糧食年產(chǎn)量狀態(tài)分別為3、2、2。因此，可分別確定各年份對(duì)2011年所處狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，具體見表2。

表2 2008—2010年所處狀態(tài)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

根據(jù)表2并利用權(quán)重系數(shù)序列W計(jì)算2011年的糧食年產(chǎn)量分別處于狀態(tài)1、狀態(tài)2、狀態(tài)3的概率分別為

(26)

(27)

(28)

(29)

為對(duì)比方便，分別使用傳統(tǒng)灰色模型及馬爾科夫模型對(duì)2011—2015年糧食年產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，各種方法的預(yù)測(cè)結(jié)果及預(yù)測(cè)誤差見表3。由此可以看出，(1)由于傳統(tǒng)灰色模型沒有考慮歷年糧食產(chǎn)量對(duì)未來預(yù)測(cè)年份糧食產(chǎn)量的影響，初始預(yù)測(cè)值較為準(zhǔn)確，2011—2013年的預(yù)測(cè)誤差小于1.00%，但隨著年份的增加，由于糧食年產(chǎn)量間的相互影響作用導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度變差，2014、2015年的年產(chǎn)量預(yù)測(cè)誤差明顯增加，但總體來看，此方法的預(yù)測(cè)精度較高；(2)傳統(tǒng)馬爾科夫模型由于過度依賴歷年糧食產(chǎn)量對(duì)未來產(chǎn)量的影響，降低了序列的波動(dòng)性，導(dǎo)致預(yù)測(cè)值增加較慢，預(yù)測(cè)誤差較大，所有年份的預(yù)測(cè)誤差均大于1.50%，最大誤差達(dá)到4.16%，無法用于糧食產(chǎn)量的短期精準(zhǔn)預(yù)測(cè)；(3)相比于傳統(tǒng)灰色模型和馬爾科夫模型，由于灰色——馬爾科夫混合模型綜合考慮了序列的波動(dòng)性及歷年產(chǎn)量對(duì)未來年份糧食產(chǎn)量的影響，將2種模型優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，極大地提高了模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，5年的糧食產(chǎn)量誤差均小于 0.40%，能夠?qū)崿F(xiàn)糧食產(chǎn)量的短期精準(zhǔn)預(yù)測(cè)。

表3 各種方法糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)結(jié)果比較

3 結(jié)論

糧食安全問題是關(guān)系國(guó)民經(jīng)濟(jì)健康發(fā)展和全面建設(shè)小康社會(huì)的重大問題，因此研究糧食生產(chǎn)波動(dòng)規(guī)律，做好糧食產(chǎn)量的短期預(yù)測(cè)對(duì)保障國(guó)家糧食安全和協(xié)助糧食管理部門作出科學(xué)決策具有重大意義。本研究結(jié)合糧食生產(chǎn)具有波動(dòng)性及相互影響性的特點(diǎn)，提出基于馬爾科夫的灰色產(chǎn)量組合預(yù)測(cè)方法，該方法充分發(fā)揮了灰色模型和馬爾科夫模型的優(yōu)勢(shì)，利用歷史數(shù)據(jù)包含的信息，對(duì)糧食年產(chǎn)量進(jìn)行短期精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，5年預(yù)測(cè)誤差均小于0.40%，平均誤差為0.19%，相較于傳統(tǒng)灰色模型及馬爾科夫模型，預(yù)測(cè)精度大幅提高。

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[1]李衛(wèi)國(guó)，王紀(jì)華，趙春江，等. 基于遙感信息和產(chǎn)量形成過程的小麥估產(chǎn)模型[J]. 麥類作物學(xué)報(bào)，2007，27(5)：904-907.

[2]王桂芝，胡 慧，陳紀(jì)波，等. 基于BP濾波的Fourier模型在糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J]. 中國(guó)農(nóng)業(yè)氣象，2015，36(4)：472-478.

[3]陳錫康，楊翠紅. 投入占用產(chǎn)出技術(shù)在全國(guó)糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)及鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)中的應(yīng)用[J]. 中國(guó)科學(xué)基金，2003，17(3)：149-152.

[4]王春輝，周生路，吳紹華，等. 基于多元線性回歸模型和灰色關(guān)聯(lián)分析的江蘇省糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)[J]. 南京師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，37(4)：105-109.

[5]林 芳. 灰色神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J]. 計(jì)算機(jī)仿真，2012(4)：225-228.

[6]王惠婷. 基于混合時(shí)間序列模型的糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)[J]. 統(tǒng)計(jì)與決策，2013(12)：23-25.

[7]陳 晨，吳海云，田燕紅，等. 基于支持向量回歸機(jī)的糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)研究[J]. 山西農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，33(4)：357-361.

[8]楊鐵軍，楊 娜，朱春華，等. 一種新的基于ARIMA模型的糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)[J]. 河南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，36(5)：19-22.

[9]楊克磊，張振宇，和 美. 應(yīng)用灰色GM(1，1)模型的糧食產(chǎn)量預(yù)測(cè)研究[J]. 重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，29(4)：124-127.

[10]鄒 慧，徐 波. 改進(jìn)的灰色——馬爾科夫模型及其在沉降預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究[J]. 工程勘察，2016，44(3)：64-68.