基于T-S模型時滯網絡控制系統的保性能H∞魯棒控制

李 楊，張鴻愷

（安徽建筑大學 電子與信息工程學院，安徽 合肥 230022）

1 引言

隨著網絡控制系統(NCS)在工業控制過程、航天航空和智能建筑控制等方面的廣泛運用，NCS的分析與設計已逐漸成為當代控制理論的研究熱點之一[1-4].文獻[1]針對一類具有積分二次約束屬性的時滯網絡控制系統，研究了其H∞魯棒容錯控制.文獻[2]研究了具有狀態觀測器時滯的網絡控制系統的魯棒H∞控制問題.文獻[3]考慮控制器存在擾動情況下，進一步研究了帶有狀態觀測器的網絡控制系統非脆弱H∞控制問題.

自1985年Takagi等[5]提出T-S模糊模型以來，基于該模型的方法被廣泛應用到研究非線性系統穩定性分析和控制綜合中[6-9].文獻[6]首先對于模糊時滯系統的穩定性分析和控制綜合進行了研究.文獻[7]針對一類具有參數不確定的T-S模糊系統，研究了其魯棒H∞控制問題.文獻[8]針對一類基于T-S模糊模型描述的連續非線性網絡控制系統，研究了其基于觀測器的魯棒L2-L∞控制器設計問題.

本文考慮在外界噪聲輸入下的一類T-S模糊模型描述的時滯網絡控制系統，研究其模糊保性能H∞魯棒控制問題.首先將NCS建模為具有時變參數的離散時間系統模型.然后通過Lyapunov理論和線性矩陣不等式方法，提出模糊保性能H∞魯棒控制器的設計方法.

2 問題描述

NCS一般是通過實時網絡形成的閉環反饋控制，其基本結構如圖1所示.其時滯一般包括傳感器到控制器的時延τsc，控制器到執行器的時延τca以及控制器的計算時間τc.令τ=τsc+τc+τca，考慮一類由模糊 T-S模型描述的時滯網絡控制系統，其第i條模糊規則為：

圖1 NCS的基本結構

其中：Ri表示T-S模糊模型的第i條規則，m為規則數目，θ1(t),…,θq(t)為規則前件變量，μij為模糊語言值集合；x∈Rn,u∈Rz,y∈Rq和w∈Rr分別為狀態、控制、輸出和干擾向量；Ai,Bi,Ci,Li是已知的適當維數矩陣.

為便于進一步討論，先做以下假設：

①在信息傳輸過程中存在變時滯，時滯有界且不超過采樣周期，即τ∈[0,T]，其中T為采樣周期.

②傳感器采用時間驅動，控制器和執行器節點均采用事件驅動方式.

基于如上假設，在一個采樣周期內，系統輸入不再是一個單一的常數，而是一個分段常數.在一個采樣周期內，控制輸入可表示為：

其中Gi是第k個采樣時刻，τk是相應的時滯.因此，系統(1)的NCS離散狀態空間表達式為：

由于不確定時滯τk的存在，H0i和H1i也是時變的.因而，系統（3）含有不確定參數，根據文獻[4]可以給出式（3）的等價模型：

其中和E是適當維數的常數

i矩陣,Fi是不確定分量并且滿足FiTFi≤I,具體詳見文獻[4].

采用單點模糊產生器、乘積推理機以及中心模糊消除器，全局模糊控制系統可寫成如下形式：

對系統（5）采用如下形式的模糊控制器

系統(5)全局控制律為：

則閉環系統為

其中S是給定的正定對稱矩陣.

本文的目的是設計形如(6)式的控制器，使得對所有允許的參數不確性，以下條件成立：

①在w(k)=0時，式(7)的閉環系統是魯棒穩定的；且存在性能指標J*，使得相應的閉環性能指標式（8）滿足J≤J*.

②在x(0)=0時，對給定的正常數γ，輸出y(k)滿足||y(k)||2＜γ||w(k)||2.

引理1 給定適當維數的矩陣D，E，及滿足FTF≤I的矩陣F，則有對任意的標量ε＞0，使得DFE+ETFTDT≤εDDT+ε-1ETE.

3 主要結果

定理1對于系統(7)，如果存在正定矩陣P，Q和實矩陣Ki，使得下列矩陣不等式成立：

則系統(7)是魯棒穩定的，且控制器（6）是系統的H∞保性能控制器，相應的性能指標滿足：

其中，*表示對稱塊矩陣，

證明 構造Lyapunov函數如下

①根據不等式（9）、（10）可知當 w(k)=0 時，ΔV(x(k))＜0，所以系統（7）是魯棒穩定的.且有：

②在0初始條件下，考慮Jk=||y(k)||2-γ2||w(k)||2，對任意w(k)∈L2[0,∞)有

利用矩陣的schur補的性質，由不等式(9)、(10)可得

將上式兩邊對k從0到∞求和，并利用系統的穩定性及0初始條件，可得||y(k)||2＜γ||w(k)||2.

定理得證.

定理2 對給定的系統(7)，如果存在對稱正定矩陣X，U和矩陣Wi，Ti以及常數εir＞0，使得下列線性矩陣不等式成立：

則系統(7)穩定，是系統的 H∞保性能控制器，相應的性能指標滿足：

其中，

證明 多次利用引理1及矩陣的Schur補性質，式(9)等價于

將(13)式分別左乘和右乘矩陣diag(I,I,I,P-1,Q-1,I,I)，并記X=P-1，U=Q-1，Ti=KiU，Wi=KiX，然后再次應用矩陣的 Schur補性質，可得矩陣不等式(11)，定理得證.同理可證得(12)式.

基于定理2，閉環系統（7）的H∞保性能控制器可通過求解如下最優化問題得到，且系統的性能指標滿足J≤J*=αˉ+βˉ.

4 結論

本文針對一類采用T-S模糊模型表示的時滯網絡控制系統，研究了其模糊保性能H∞魯棒控制問題.運用Lyapunov穩定性理論和LMI方法，給出了模糊保性能H∞魯棒控制器的存在條件.通過參數變換和矩陣的Schur補性質，以LMI的形式給出了模糊保性能H∞魯棒控制器的設計方法.最后給出數值例子，對所得結果進行檢驗，仿真表明本文提出的算法是有效的.

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