例談新課標下中考“新定義”

仇建新

(江蘇省海門市能仁中學 226100)

一、類型

初中數學“新定義”試題“先學習理解，后運(應)用”.從題型來看，有展示全貌，留空補缺的；有說明解題緣由的；有要求總結規律再解決問題的；有理解新定義(概念)再解決問題的，等等.此類試題雖不來源于初中課本卻高于課本，結構獨特，大致可分四類：

1.純文型——全部用文字表述條件和問題(結論)

2.圖文型——用圖形和文字綜合表述條件和問題(結論)

3.表文型——用表格和文字綜合表述條件和問題(結論)

4.其它型——條件、問題、解題過程都已展示的前提下，考查“新定義”閱讀材料的分析與解決應用問題等能力，此類題型特點鮮明.

二、步驟

無論以上何種類型，解決“新定義”試題，在讀題、譯題、建模解模、答題等思維過程中，其解答步驟大致分以下幾步：

1.快速瀏覽，抓重點——明確主旨

在閱讀時不僅要特別留意“新定義”描述的情景、相關數據、關鍵詞句等細節，還要注意問題的呈現方式.據此揣摩命題人意圖，思考是我們平常練習時的何種類型？涉及哪些知識方法？一般是如何解決的？在頭腦中建立初步印記，明確主旨，第一步很重要.

2.專心閱讀，提要點——提煉信息

再次閱讀不僅要注意各個關鍵數據(勾、圈、畫標識)，還要注意各數據的潛在關聯，尤其是一些特殊條件(隱含條件挖掘)，以簡明扼要地找出各量的關系，提煉信息，把握要點，要牢記尊重原題中的信息.

3.融合信息，剖難點——構建數模

根據前面提煉的信息分析、加工材料中關鍵詞、句，選用恰當、合理的數學模型，例如由“大于、不超過、至少…”等聯想到建立不等式(組)；由“等于…，恰好…”聯想到建立方程(組)；由“求哪種方案更節省、或求出…和…的函數關系式或求最大值(最小值)”等聯想到建立函數模型，將題中的各種已知量用數學符號語言準確地表達其內在聯系.

4.解決數模，溯原點——反思檢查

在建立好相應的數學模型后，不要急于解決問題，而應回過頭來重新審題，一是檢查哪些數據、關系可能遺漏，用得是否準確，要充分利用題中顯條件并善于挖掘題中隱含條件；二是關鍵詞、句的理解是否準確、到位；三是判斷所列關系式的量是否符合實際意義；四是在解題過程中要善于反思檢查，發現問題及時修正.

三、例舉歷年中考“新定義”試題具體談一談

例1 (2017年江蘇南通27題)我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點.過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形，若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”.

(1)等邊三角形“內似線”的條數為____；

(2)如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD,求證：BD是△ABC的“內似線”；

(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E，F分別在邊AC，BC上，且EF是△ABC的“內似線”，求EF的長.

考點剖析考查相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形內心性質，三角形面積公式等知識.滲透由特殊與一般思想、分類討論思想、轉化思想等，難度中等偏上.

思路評析本例題屬于“圖文型”閱讀理解，由新定義“內似線”(條件)引發三個問題，綜合考查初中階段與三角形有關知識，讀懂并理解“內似線”定義是解題的關鍵.(1)問根據“內似線”定義解決等邊三角形應用，難度不大；(2)問聯想到平時訓練的“黃金三角形”，考生若從這個“基本圖形”突破即可解答；(3)問又是一種特殊三角形(直角三角形)，考查知識比較全面，通過“內心”添加常見輔助線，相似三角形的分類，基本運算等，此問考生可能遺漏情形，有一定難度.

(1) 如果一個正整數a是另外一個正整數b的平方，我們稱正整數a是完全平方數.求證：對任意一個完全平方數m，總有F(m)=1.

(2) 如果一個兩位正整數t，t=10x+y(1≤x≤y≤9，x、y為自然數)，交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為18，那么我們稱這個數t為“吉祥數”，求所有“吉祥數”中F(t)的最大值.

考查完全平方數的分解，兩位數的正確表達，熟練計算，構建函數模型以及會解不定方程，滲透分類思想、函數思想等.本題“新定義”下讀懂“最佳分解”(規定)與“吉祥數”的意義是解題關鍵，屬于中檔題.

思路評析本例題屬于“純文型”閱讀理解題，審清題意，理解新定義最佳分解及“吉祥數”的意義(條件)是關鍵.(1)任意一個完全平方數均可寫成兩個相同的正整數的積，這兩個正整數的差是0，其差的絕對值最小，根據最佳分解的“規定”可知對于任意一個完全平方數m，總有F(m)=1；(2)①用含x，y的代數式正確表達兩位正整數，②根據“新的兩位正整數-原兩位正整數=18”(條件)可確定y與x之間的函數關系式(建立函數模型)；③由1≤x≤y≤9，x、y為自然數，分類、討論求出所有符合的“吉祥數”，④根據最佳分解的“規定”即可求出每個“吉祥數”的最佳分解結果，通過計算比較大小即可得到(問題)結論.

參考文獻：

[1]康世剛，宋乃慶.論數學素養的內涵及特征[J].數學通報,2015(03).

[2]吳怡.淺談學生數學素養的提高[J].理科考試研究,2017(14).