溯折法之源，鍛思維之刃
——以正多邊形折法為例

林亞波

(浙江省寧波市第十五中學 315000)

一張白紙，不剪不裁，卻能折出無數變化，如千紙鶴、飛機、青蛙等等，大部分學生只學會了一種折法，但不知道為什么這么折，也不會去創造新的折法.很多文章也介紹過如何折 角，如何折特殊正多邊形，但也都是先給出折法，再證明圖形，而對為什么這么折沒有進行探究.本文筆者要尋找如何折紙的源頭，在草稿紙上先畫出要折的多邊形，再利用折疊的原理分析折痕的產生過程.先畫后折使折紙問題知其然并知其所以然.

一、折紙的基本原理

其實質是：圖形作軸對稱變換(對稱軸：折痕所在的直線)，折疊產生折痕，這也就是尋找折紙方法的主要出發點.

二、利用矩形折正方形

如圖1，假設已經折出正方形，先在矩形上畫出正方形ABCD.怎么通過折疊得到AB=AD？過點A將AB與AD所在直線重合，對折得到折痕AC，再沿CD對折就能得到正方形ABCD.在分析圖形的過程中自然找出折痕，從而得到折法.

三、利用正方形折正三形

方法一：如圖2，假設已經折出了正三角形，先在正方形紙片上畫出這個正三角形△BCE，再去尋找折痕.正三角形的頂點E肯定在BC中垂線上，所以AB和CD重合，對折得到折痕.中垂線上有許多點，怎么確定點E呢？正三角形的邊BE=BC，而AB=BC，所以BE=AB，只要把AB過點B對折過來，讓點A落在中垂線上，再沿BE折疊.另外一邊同樣折法.利用折疊的基本原理，通過幾何圖形的分析找到折痕，折法順利出現.

方法二：如圖3，BE=BC還可以怎么實現？直接將BC過點B對折，使點C落在BC中垂線上，沿BE折疊，再沿CE折疊.

方法三：如圖4， 第一種折正三角形的方法中∠ABF等于15°，利用15°的折法得到∠FBC=75°，而75°-15°=60°，那么75°-15°怎么通過折疊實現呢？以BC為邊再折一個∠CBG=15°，再沿FG折疊.

四、利用正三角形折正六邊形

如圖5，假設已經折出正六邊形，正三角形和正六邊形有公共的中心點.那么中心點由已知的正三角形怎么折疊得到？將三角形沿兩個頂點對折兩次，這兩次折痕的交點就是中心點O.以點A，B，C為頂點的三個小三角形都全等，中心點O到正六邊形各頂點距離都相等，而將中心點和正六邊形的各頂點連起來以后所得到的所有正三角形也全等，那么怎么通過折疊得到全等三角形呢？只要將頂點A折疊下來和點O重合，點B和點C也同樣處理就可以得到正六邊形.通過圖形研究，找到折痕，也就決定了折疊方法.

五、利用正方形折正八邊形

方法二：如圖7，方法一是從正八邊形的邊長角度分析來找折痕，下面從角的角度分析來找折痕.把正八邊形的中心點和頂點連起來，發現對角線之間的夾角為45°.只要將正方形的四條對稱軸連起來，就能折出這樣的45°角.每條正八邊形的對角線和正方形的對稱軸之間的夾角為22.5°，可以通過將正方形紙片多次對折實現.

以上幾種對正多邊形折法的尋找可以發現，折紙不再是別人告訴你怎么折，而是自己去探究.例如以前要折一個正八邊形，沒有人教你怎么折的情況下無從下手，而先畫出要折疊的圖形，紙上談兵，通過數學知識結合圖形分析可以尋找折痕的蛛絲馬跡，折法自然就出現了.解決折紙問題要溯其根源，在折紙中折出數學思維，領略折紙背后的數學之美.

參考文獻：

[1]萬濤.有關初中數學折紙問題的分析[J].數學之友,2012(24).

[2]陸劍鳴.用長方形紙折出多種圖形[J].中學生數學,2015(1).