基于復制動態博弈的大學生上課選座位博弈分析

趙文強 蔣菡

Game Analysis of College Students Selecting Seats in Class Based on Replicator Dynamic Game

摘要： 運用大規模有限理性群體復制動態博弈模型，結合了大學生在上課時坐在教室前排和坐在教室后排時的收益情況，分析了大學生上課選座位的動態演化過程。結果表明：在教室座位有空缺的條件下，大學生會傾向于坐在教室后排而不是教室前排，最終全部坐在后排導致前排無人坐，即使少數學生偏離了該穩定狀態，復制動態最終依然會收斂于上述穩定狀態。

Abstract： This paper uses a large-scale finite rational group copy dynamic game model， combined with the income of college students sitting in the front row of the classroom and sitting in the back row of the classroom during the class， analyzes the dynamic evolution process of college students' seat selection. The results show that under the condition that there are vacancies in the classroom， college students tend to sit in the back row of the classroom rather than in front of the classroom. Eventually all sitting in the back row leads to no one sitting in the front row， even a small number of students from the steady state， dynamic replication will still converge to the final steady state.

關鍵詞： 有限理性；復制動態博弈；選座位；穩定狀態

Key words： bounded rationality；replicator dynamic game；seat selection；steady state

中圖分類號：F224.9 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）15-0014-03

0 引言

大學教室里經常出現這樣一種現象，代課老師在講臺上激情蓬勃地講課，但學生卻盡可能地遠離老師的視線，例如，教室里一共有八排座位，座位的數量大于來上課的學生數量，上課時學生坐滿了后六排座位，最前面的兩排卻沒人坐，尤其是最后一排的座位“一票難求”，搶不到后排座位的學生，才會無奈的坐在靠前一些的座位。這樣的例子在如今的大學校園里比比皆是，無不讓人痛心。這種現象的出現與中小學生托關系坐到前排形成鮮明的對比，折射出老師和學校乃至大學教育的無奈[1]。

國內社會對大學生選擇坐后排的現象進行過一系列討論，討論的結果都是基于教育學和社會學的角度而對如今大學生的學習態度和人生觀進行批評，并沒有從演化博弈論的角度出發而去論證這種現象產生的必然性。

演化博弈論以博弈方具有有限理性為基礎，研究博弈方組成的群體成員采用特定策略比例的變化趨勢和穩定性，它對分析預測經濟關系的長期趨勢和解釋各種普遍性社會現象有重要的作用[2]。謝識予對進化博弈論的思想、方法、意義和發展前景進行了討論[3]，王先甲等探討了演化博弈論中的各種學習模型，提出了有限理性的實質是怎么去學習[4]，吳昊等探討了合作競爭博弈的演化模型，用“進化穩定策略”來描述合作競爭博弈的長期演化趨勢[5]，孫慶文等基于不完全信息假設，借鑒生物進化過程中“復制動態”的思想，對非對稱2×2演化博弈均衡進行漸近穩定性分析，完整地給出了其定性行為的拓撲等價分類[6]，劉德海等運用演化博弈理論建立了重大突發事件的疫情傳播方程[7]，王玉燕等采用演化博弈方法研究逆向供應鏈在企業供應鏈中的推廣應用[8]。

本文運用演化博弈論，建立坐后排者和坐前排者的有限理性群體復制動態博弈模型，分析出均衡結果，給出一系列的結論。

1 有限理性和復制動態模型

1.1 有限理性

靜態博弈和動態博弈基本上是以博弈方的完全理性為基礎，但在現實中對決策者的完全理性假設是很難滿足的[9]。如果博弈的參與人不滿足完全理性假設，稱為“有限理性博弈方”，這時博弈可稱之為“有限理性博弈”[10]。有限理性意味著博弈方往往不會一開始就找到最優策略，會在博弈過程中學習博弈，通過試錯尋找較好的策略。

1.2 演化博弈和復制動態模型

有限理性博弈方有不同的理性層次，學習速度差別很大。參與人的學習速度慢表現為向優勢策略轉變是一個漸進的過程，稱之為演化博弈。演化博弈的復制動態模型最早在1978年由Taylor和Jonker提出，復制動態模型來源于生物學中的進化動態方程。“簽博弈協議”的例子很好的說明了復制動態模型。

參與人A和參與人B要簽訂一個協議，兩個參與人都有“同意”和“不同意”兩種可選策略，他們的支付矩陣如表1所示。

帕累托最優的納什均衡是（同意，同意）。

參與人往往不可能一開始就能找到最優的策略[11]，有參與人會選擇“不同意”。假設“同意”類型的參與人占比為x，“不同意”類型的參與人占比為1-x（大群體中忽略參與人本身對其他類型參與人占比的影響），“同意”和“不同意”兩種類型的參與人各自的期望收益uy和un分別為：

uy=x·1+（1-x）·0=x un=x·0+（1-x）·0=0

群體成員的平均收益為：

只要“不同意”類型的參與人有基本的直覺和判斷能力，遲早會發現改變策略對自己是有利的，即x和1-x是隨時間變化的。博奔方策略類型比例動態變化是有限理性博奔分析的核心，動態變化的速度取決于兩個因素，一是模仿對象的數量大小，二是模仿對象的成功程度（可用模仿對象策略收益超過平均收益的幅度表示）。

以“同意”類型參與人比例為例，其動態變化速度可用微分方程（1）表示：

上述動態微分方程與生物進化中描述特定性狀個體頻數自然變化選擇過程的“復制動態”方程是一致的，所以把它稱作“復制動態方程”。

當x=0時，即初始時刻沒有參與人采用“同意”策略，變化速率為0，所有參與人都不會改變策略；

當0

當x=1時，變化速率為0，參與人全部采用“同意”策略。

復制動態過程收斂到x*=1時，學習過程停止，有限理性參與人找到了本博弈中效率較高的納什均衡，即x*=1是一個穩定狀態。

2 大學生上課選座位的演化博弈分析

2.1 問題描述

研一的時候要上英語課，上課的教室一共有八排座位，來上課的學生一共只能坐滿六排座位，老師為了保證課堂教學質量，鼓勵大家盡量坐在教室的前排，結果卻事與愿違，前兩周上課時還有學生坐在前兩排，后來大家就心照不宣的從第三排開始往后坐，前兩排徹底無人坐。老師發現了這種現象后對全班學生進行了批評，并且強制大家坐滿前兩排座位，但隨著時間推移，大家又一次心照不宣的從第三排開始往后坐，一直到課程結束，前兩排座位都處于閑置狀態。

根據本人的切身體會以及與同學之間的交流，發現大家不愿意坐前排有以下幾個原因：

①避免被老師提問。老師一般會讓前排的同學來回答課堂問題，但大多數同學都不想被老師提問，所以選擇坐后排。

②方便做自己的事情。很多同學上課不認真聽講卻在做其他的事情，例如：玩手機、看小說等等，他們認為坐在后排不容易被老師發現。

③坐在后排比較有安全感。很多同學認為，不管怎樣，有人坐在自己前排會讓自己覺得更有安全感，有一種被保護的感覺，所以他們希望更多的人坐在自己前排，而自己坐在后排。

2.2 模型建立與分析

我們假設教室里只有兩名學生：學生A和學生B，對他們之間的博弈做出如下假設：

①如果A和B都坐在教室的前排，兩人的收益都是1。這時兩人都認真聽課，但很可能會被老師提問，并且不能在上課時做其他的事情。

②如果A坐在教室前排，B坐在教室后排，A只能選擇認真聽課，不能做其他事情，而B可以認真聽課，還可以做自己喜歡的其他事情，這時A的收益為0，B的收益為2。反之如果B坐在教室前排，A坐在教室后排，A的收益為2，B的收益為0。

③如果A和B都坐在教室的后排，兩人雖然都可以選擇聽課或者做其他的事情，但沒有人坐到前排，兩人都會遭到老師的批評，這時兩人的收益都為1。

在博弈中，A、B兩人的支付矩陣如表2所示。

根據該博奔的支付矩陣不難看出，它的純策略納什均衡是（后排，后排）。如果是在兩個滿足完全理性假設的博弈方之間進行博弈，那么這個博弈的結果是A、B兩人都會選擇坐后排，但存在有博弈參與人理性層次很低的情況下，必然會有參與人選擇坐前排，這時就需要利用理性層次較低的大規模有限理性群體復制動態博弈模型來分析該博弈。

假設坐前排學生的比例是x，坐后排學生的比例是1-x，所有學生中隨機配對進行該博弈時，每個參與人可能遇到“前排”的對手，也可能遇到“后排”的對手，前者的概率是x，后者的概率是1-x。“前排”和“后排”兩種類型參與人各自的期望收益uf和ub分別為：

uf=x·1+（1-x）·0=x ub=x·2+（1-x）·1=x+1

教室內所有學生的平均收益為：

u=x·x+（1-x）·（x+1）=1

根據上述結果可以看出，“后排”類型參與人的期望收益高于“前排”類型參與人的期望收益，也高于教室內所有學生的平均收益。當收益較差的參與人，即“前排”類型參與人發現坐在“后排”對自己更有利時，他們就會改變策略，從而坐到教室“后排”。這種動態變化的速度可用微分方程（2）表示：

=（1-x）（ub-u）=（1-x）x=x-x2（0？燮x？燮1）（2）

當x=0時，變化速度為0。即初始時刻沒有選擇坐前排的學生，那么選擇坐前排的學生就不會出現。

當0

當x=1時，變化速度為0，即所有學生都選擇坐后排，“后排”的學生數量不再變化。

微分方程（2）的相位圖如圖1所示。

根據微分方程（2）和相位圖1可知，除了x=0以外，該博弈從其他初始情況出發的復制動態過程，最終都會使所有博弈方趨向于選擇坐后排，即x=1。x*=0和x*=1是上述復制動態的兩個穩定狀態，x*=1是現實中出現的穩定狀態。

當x*=1時，所有學生全部選擇坐在后排，有限理性參與人的學習過程停止，所有參與人都通過學習找到了最好的策略。

當代課老師發現教室前兩排無人坐時，對全班同學進行了批評教育，這時少數聽話的學生就按照老師的要求坐在了前兩排，我們假設比例為？著的學生坐在了前兩排（記為前排），比例為1-？著的學生依舊坐在后排。這時，選擇“前排”學生的期望收益為：

對比（3）（4）兩式可知，選擇坐前排學生的收益小于選擇坐后排學生的收益，同時也低于教室內所有學生的平均收益，因此坐前排的學生會轉變策略，最終仍然會趨向于x*=1，即所有學生都選擇坐在后排，復制動態博弈最后依然收斂到x*=1，即x*=1是一個穩定狀態。

對比可知，x*=1不是穩定狀態。當有少數學生選擇后排，即偏離0時，選擇后排的學生會越來越多，最終導致趨向于1。

3 結論

本文運用大規模有限理性群體復制動態博弈模型，結合了大學生在上課時坐在教室前排和坐在教室后排時的收益情況，分析了大學生上課選座位的動態演化過程。結果表明：在教室座位有空缺的條件下，大學生會傾向于坐在教室后排而不是教室前排，最終全部坐在后排導致前排無人坐，即使少數學生偏離了該穩定狀態，復制動態最終依然會收斂于上述穩定狀態。因此，要糾正大學生選擇坐后排而不坐前排的問題，僅僅依靠老師在課堂上的監督與叮囑是遠遠不夠的，學校應該考慮從教學方式、教學內容和課程安排等角度另謀良策，才有可能根治這一問題。

參考文獻：

[1]閆建章，劉凌燕.大學生上課為何愛坐后排[J].中國教育報，2011-05-23（006）：23.

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[4]王先甲，全吉，劉偉兵.有限理性下的演化博弈與合作機制研究[J].系統工程理論與實踐，2011，31（1）：83-84.

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[8]王玉燕，李幫義，申亮.兩個生產商的逆向供應鏈演化博弈分析[J].系統工程理論與實踐，2008，4（4）：43.

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[10][11]謝識予.經濟博弈論[M].上海：復旦大學出版社，2007.01.