帶有入軌姿態約束的迭代制導算法及應用研究

韓雪穎，馬 英，張志國，余夢倫

(北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

0 引 言

對我國現役運載火箭來說，在大氣層內采用固定程序角飛行，在大氣層外飛行段采用攝動制導方法，基本能夠滿足準確入軌的要求[1]。隨著航天領域及相關技術的發展[2]，運載火箭發射任務呈現多樣性，對制導精度也提出了更高的要求，攝動制導已經無法滿足，需要研究適應能力更強、制導精度更高的自適應制導算法。迭代制導方法是自適應制導諸算法中應用最多的一種[3]。該方法以最優控制理論為基礎，根據火箭飛行瞬時狀態和終端目標，實時確定出一組最優控制姿態角[4]，具有制導精度高、任務適應性強、箭上飛行軟件簡單、諸元裝訂少等優點[5]。1967年，Doris C.Chandler和Isaac E.Smith首先給出了迭代制導方法[6]，該方法在國外得到廣泛應用，美國的“土星五號”運載器[7]，歐空局的阿里安火箭、俄羅斯的“能源號”重型運載火箭等都采用了迭代制導技術[8]。國內學者韓祝齋[4]、陳新民、余夢倫[3]、茹家欣[9]等也先后進行了相關研究，并通過仿真證明了迭代制導方法的有效性。目前迭代制導已在我國載人運載火箭及新一代運載火箭上得到成功應用。

傳統的迭代制導方法，在發動機推力不可調節的情況下，以終端點的三個速度分量和兩個位置分量為約束條件，得到近似處理后的控制角表達式由常值部分和與時間一次項相關的部分相加而成，其中前者為使火箭滿足入軌點速度約束所需的部分，后者為在速度約束基礎上再使火箭滿足入軌點位置約束所需的小量部分。實際上，在運載火箭承擔的發射任務中，某些有效載荷對入軌姿態有著較為嚴格的要求(如對地定向、測控等)，使得運載火箭需要滿足一定的入軌姿態約束[10]。在這種約束條件下，傳統的迭代制導方法已無法適用。

針對帶有入軌姿態約束的運載火箭制導問題，呂新廣等[10]提出了一種將傳統迭代制導與數值積分相結合的軌跡預測制導方法，能夠同時滿足入軌姿態約束和軌道參數約束要求，由于多次數值積分計算帶來大計算量，需要采取多處理器并行等措施縮短運算時間。張志國等[11]基于軌跡優化理論，研究了應用偽譜法的運載火箭在線制導方法，仿真結果表明該方法在保證入軌精度的同時，可有效處理帶入軌姿態約束的火箭制導問題，但需要通過選擇合適的基點數量和制導周期平衡制導效率和制導精度的關系。邱豐、宋征宇[12]結合直接配點法[13]和偽譜法[14]，提出了一種基于聯立框架的直接法，入軌精度和入軌大姿態約束均能滿足，與偽譜法相比，計算效率得到大幅提高。本文在傳統迭代制導算法的基礎上，針對只能控制發動機的推力方向，而不能改變發動機推力大小的運載火箭，通過在控制角表達式中增加與時間二次項相關的部分，在滿足入軌點三個速度約束和兩個位置約束的同時，也能實現對入軌俯仰、偏航姿態角的有效控制，且與傳統迭代制導相比，計算量增加少，能夠滿足箭上實時計算需求，適合工程應用。

1 迭代制導問題描述

為簡化制導控制方程形式，將運載火箭動力學方程建立在目標點軌道坐標系Os-εηζ，其中坐標系原點Os為地心，Osη軸由地心指向入軌點，Osε軸與Osη軸垂直，且與當地水平面平行，指向運載火箭運動方向，Osζ軸與Osε軸、Osη軸構成右手定則。在目標點軌道坐標系計算的控制角需要通過坐標變換轉至發射慣性系中，轉換關系參見文獻[8]。不考慮大氣影響，真空飛行段火箭的動力學方程為

(1)

(2)

在傳統迭代制導算法中，控制角φε、ψζ的表達式均是與時間相關的線性函數，通過控制剩余飛行時間和對k1、k2、k3、k4進行調節，可以實現對入軌點三個速度分量和兩個位置分量的有效控制，但沒有對入軌姿態進行控制，因此無法滿足入軌姿態約束的要求，且在各項干擾作用下，入軌姿態散布較大[1]，這對某些有入軌姿態要求的有效載荷產生一定影響。為此需要研究能夠同時滿足運載火箭入軌速度、位置和姿態約束的制導算法。

2 有入軌姿態角約束的迭代制導算法

2.1 入軌點有姿態角約束時控制角的表達式

為了實現對入軌姿態角的控制，本文在傳統迭代制導算法的基礎上，將控制角的最優解經二階近似展開，得到如下形式的控制角近似解表達式

(3)

式(3)是與時間相關的二次函數，與式(2)相比，增加了兩個參數k5、k6，通過對六個參數k1、k2、k3、k4、k5、k6的調節，可以在滿足速度與位置約束的同時，也能滿足姿態約束。

假設有效載荷對入軌姿態的要求對應火箭在目標軌道坐標下的入軌姿態角為φεc、ψζc，由式(3)可知，其應滿足

(4)

在入軌點只有速度約束的情況下，需增視速度為

(5)

(6)

這是為簡化計算所作的近似處理，隨著火箭接近入軌點，平均引力所代表的真實性也隨之增強，故這種近似處理不會影響入軌精度[3]。

根據歐拉角產生的關系：

(7)

式(7)表明，火箭飛行瞬時，為滿足入軌點速度約束產生的控制角是一組瞬時常值。

2.2 有入軌姿態角約束時的迭代制導方程

假設k5t2+k2t-k1、k6t2+k4t-k3均為小量，對小量，有下式成立

(8)

(a)偏航姿態控制方程

將式(3)和式(6)代入式(1)中第三式，得到

(9)

式中：

(10)

將式(8)代入式(10)，得到

(-k3+k4t+k6t2)

(11)

將式(11)代入式(9)，并進行一次積分，得到

(12)

式中：

(13)

(14)

(15)

(16)

對式(12)兩邊再次積分，得到

(17)

式中：

(18)

(19)

(20)

(21)

聯立姿態約束方程(4)中第二式以及式(16)、式(21)，得到

(22)

(b)俯仰姿態控制方程

同樣地，將式(3)和式(6)代入式(1)中第二式，并進行兩次積分，可得到

(23)

(24)

式中：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

聯立姿態約束方程(4)中第一式以及式(23)、式(24)，得到

(33)

求解式(22)和式(33)可以得到k1～k6，和式(7)一起代入式(3)，可以得到實時計算的控制角。

(c)火箭剩余飛行時間的確定

(34)

式中：

(35)

(36)

(37)

式(34)和式(37)經制導計算機迭代計算，可以求得滿足一定精度要求的剩余飛行時間。

3 仿真校驗

以某帶助推兩級運載火箭發射900 km太陽同步軌道任務為例對本文算法的應用進行仿真分析。根據推質比變化，火箭二級分為大推力工作段和小推力工作段。仿真時選擇迭代制導在小推力工作段開始后10 s加入，至發動機關機前5s結束，此時間段內火箭推質比變化較小，發動機工作平穩。標準彈道入軌點程序角φc=-34.7°，ψc=-11.8°。

(1)與傳統迭代制導對比

以標準彈道入軌點程序角作為入軌姿態角約束，分別采用傳統迭代制導和帶有入軌姿態約束的迭代制導進行零干擾彈道計算，得到控制姿態角與標準彈道程序角的對比曲線見圖1、圖2?？紤]火箭各項方法誤差，包括火箭質量、質心參數偏差、發動機性能參數偏差、大氣參數偏差等，得到兩種制導算法入軌點參數偏差的對比情況見表1。

從圖1、圖2曲線可以看出，與傳統迭代制導相比，采用帶有姿態約束的迭代制導算法生成的入軌點控制姿態角與入軌姿態約束值之間的偏差更小，同時由于在算法剛加入時刻對終端姿態角估計精度不高，與終端約束值差異較大，表現出的姿態角跳變比傳統迭代制導僅由模型簡化造成的初始姿態角跳變更大一些。通過姿態角速率限幅等措施，可以對跳變進行適當平緩，確保姿態控制效果。

表1數據表明，采用帶有入軌姿態角約束的迭代制導和傳統迭代制導算法的入軌點軌道根數偏差水平相當，且前者使入軌姿態角偏差顯著減小。

表1 入軌點參數偏差對比Table 1 Comparison of the injection parameter deviation

為了評估采用本文算法對運載能力的影響情況，進行10 000次蒙特卡洛打靶仿真計算，并按照零干擾彈道剩余量進行無量綱化處理，得到末級推進劑剩余量散布對比情況見圖3，其中1～10 000次是采用傳統迭代制導的情況，10 001～20 000次是采用帶有入軌姿態角約束的迭代制導的情況。

由圖3可以看出，與傳統迭代制導相比，采用本文算法會使火箭末級推進劑剩余量散布略大。數據統計結果表明，以標準彈道入軌點程序角為約束，在正常偏差情況下，采用本文算法，二級安全余量需求將增加5%，相應的運載能力僅損失1%。

(2)故障適應性

為驗證本文迭代制導算法在故障工況下的適應性，針對以下典型故障工況進行仿真分析：某一時刻(420 s、520 s)發動機出現故障，推力下降25%。

不考慮入軌姿態約束，采用傳統迭代制導得到的零干擾彈道俯仰、偏航程序角曲線見圖4、圖5?？紤]以標準彈道入軌點程序角作為入軌姿態約束，采用帶入軌姿態約束的迭代制導得到的零干擾彈道俯仰、偏航程序角曲線見圖6、圖7。兩種算法在故障工況下入軌點軌道參數及姿態偏差的比對情況見表2。

從圖4～圖7可以看出，兩種算法對故障均具有較強的自適應能力，只是在發動機出現推力下降瞬時，控制姿態角均會出現跳變，與標準彈道差異增大，可以通過程序角速率限幅等措施，避免出現瞬時大幅跳變，保證姿態控制平穩。與此同時，采用帶有入軌姿態約束的迭代制導能夠使零干擾故障彈道下的入軌姿態與理論彈道入軌程序角差異更小。

故障時刻制導方法|ΔT|/s|Δa|/km|Δi|/(°)|Δe||Δφc|/(°)|Δψc|/(°)420 s傳統迭代制導124.930.4730.0240.000476.656.59姿態角約束迭代制導125.850.6780.0230.000453.961.49520 s傳統迭代制導91.060.5730.0240.000457.436.17姿態角約束迭代制導92.860.6770.0230.000431.701.46

對比表1、表2，故障工況下，采用兩種算法均會使火箭飛行時間顯著延長。入軌姿態角偏差雖也均有增加，但由于帶入軌姿態約束的迭代制導為滿足故障工況下的入軌姿態約束，對剩余飛行過程中的姿態進行了一定范圍的調整，使該方法下的入軌姿態偏差依然較小。除此之外，兩種算法下的入軌參數偏差水平相當，火箭依然能夠按預定目標飛行。

相比正常工況，故障工況下采用本文算法后的二級推進劑剩余量散布情況見圖8(無量綱化結果)。

統計結果表明，在發動機推力下降25%的故障工況下，二級推進劑剩余量散布相比正常工況更小，且故障時間越早，散布越小。在420s故障工況、520s故障工況下，二級安全余量需求分別減小9%、5%，相應的運載能力分別提升2%、1%，這是由于在故障發生后，采用帶有入軌姿態角約束的迭代制導，能夠根據火箭當前狀態重新進行彈道規劃，充分利用了發射高軌任務末級小推力長時間推進的優勢，使得二級安全余量需求降低，運載能力反而有所提高。但由于目前該型發動機尚不具備節流能力，故在正常工況下無法利用這個優勢提升火箭運載能力。

(3)不同姿態角約束對比

分別設置不同的入軌姿態角約束進行仿真分析，其零干擾彈道下的俯仰、偏航程序角曲線見圖9、圖10。不同姿態角約束下的入軌點參數偏差見表3。

圖9、圖10及表3數據表明，對不同入軌點姿態約束，采用帶有姿態角約束的迭代制導算法在保證較高精度入軌的同時，也能滿足入軌點姿態約束的要求。結果也表明:隨著入軌點姿態角約束與標準彈道入軌點程序角差異越來越大，入軌點姿態角偏差有所增大。為滿足入軌點姿態約束，入軌位置精度會有所損失，因此，該算法能夠適應一定范圍內的入軌點姿態角約束，當入軌點姿態約束偏離理論彈道入軌點程序角太大時，會導致入軌精度變差，相應的運載能力損失增大，甚至會使姿態發散。在這種情況下，應該綜合權衡有效載荷對入軌點位置約束及姿態約束的具體要求使用該算法，若無法同時滿足，可以考慮在火箭末級增加調姿系統等方式，達到同時滿足火箭入軌速度、位置及姿態角約束的要求。

入軌點姿態約束|ΔT|/s|Δa|/km|Δi|/(°)|Δe||Δφc|/(°)|Δψc|/(°)φc=-25°ψc=-11.8°9.311.4930.0310.000602.570.92φc=-45°ψc=-11.8°9.481.2170.0310.000632.651.10φc=-50°ψc=-11.8°9.221.5460.0320.000643.801.17φc=-34.7°ψc=-8°8.890.6910.0320.000640.961.33φc=-34.7°ψc=-13°8.970.5620.0320.000621.111.23φc=-40°ψc=-13°9.400.9480.0320.000621.611.28

4 結束語

針對有入軌姿態要求的運載火箭發射任務，本文在傳統迭代制導算法的基礎上，通過將控制角的表達式近似展開為與時間相關的二次函數，推導出能夠滿足入軌姿態角約束的迭代制導算法。對某運載火箭發射任務的仿真結果表明，與傳統迭代制導算法相比，采用本文推導的迭代制導算法在運載能力損失不多的情況下，可以實現同等水平的入軌精度，同時又能很好地滿足入軌姿態約束，對故障的自適應能力較強，且計算量增加少，易于工程實現。

參 考 文 獻

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