紅外攔截彈輸出反饋制導控制一體化設計

常 晶，周 軍，郭建國

(西北工業大學精確制導與控制研究所， 西安 710072)

0 引 言

制導控制一體化(Integrated guidance and control，IGC)設計方法是為了彌補傳統的攔截彈制導與姿態控制分離設計的耦合效應而提出的。通過對制導環節和姿態控制環節的整體系統展開設計，制導控制一體化設計方法有效提高了導彈對大機動目標的攔截精度[1]。

IGC系統是一個具有各種不確定性的高階系統，面臨著非匹配不確定系統的控制問題[1]。目前對于IGC系統主要有兩種控制思路，一種是對其線性化模型進行最優控制設計[2]，但是忽略了系統的模型不確定性和干擾的影響；另一種是將魯棒控制方法與退步算法相結合進行制導控制一體化設計[3-7]以抑制模型的不確定性和干擾的影響。雖然以上方法解決了IGC設計中不確定性和干擾的問題，但是這些方法都假設導彈的所有狀態是可測量的。 然而，采用紅外導引頭的攔截彈由于其導引頭的特殊性，在制導控制一體化設計過程面臨著新的難題：視線角速率無法獲取[8]。對于這類部分狀態未知的攔截彈而言，前述基于反步算法的IGC設計難以工程實現。

文獻[9]中利用高增益觀測器技術和輸入狀態穩定理論研究了導彈在視線角速率不可獲取時的制導問題，但是只給出了導彈加速度指令，依然屬于傳統的制導控制系統分離設計。進一步，文獻[9]采用高增益觀測器只估計了未知狀態，沒有對干擾進行估計和補償。將導彈飛行過程中的氣動力參數和氣動力矩參數不確定性以及風干擾和目標機動不確定性作為集總干擾，利用觀測器來實現未知狀態和干擾的估計，然后結合退步算法實現IGC系統的控制律設計是消除或抑制導彈不確定項影響的一種有效解決途徑[3]。同傳統的線性觀測器不同，滑模觀測器通過在觀測器中引入一個非線性項可以達到有限時間的收斂，具有魯棒性強、設計簡單靈活的特點[10]。但是，要利用滑模觀測器實現干擾的估計，系統的不變零點需要是穩定的(最小相位)，且系統必需滿足匹配條件[10-11]。采用紅外導引頭的高速攔截彈的IGC系統不滿足干擾匹配條件。通常有兩種方法來放松匹配條件的約束，一種是通過高階滑模微分器[10-11]得到輸出變量的微分項構造擴張輸出狀態使得新系統滿足匹配條件；另一種方法是設計多個滑模觀測器的串聯[12-13]，構造一個虛擬系統，直到虛擬系統滿足匹配條件。高階滑模微分器容易引入噪聲的影響，且要求系統的高階導數有界。這種串聯滑模觀測器的設計參數多，干擾誤差容易累計。此外，這些方法適用的系統都需要滿足最小相位條件。Rios等[11]將系統分為強可觀子系統、可觀子系統和不可觀子系統，保證了非最小相位系統的估計誤差有界。Bejarano[14]針對特殊的干擾研究了放松滑模觀測器強可觀性條件的方法。文獻[15]通過坐標變換研究了不滿足最小相位系統和干擾匹配條件的滑模觀測器，要求的輸出與干擾個數滿足一定關系，其缺點是只可以實現部分干擾的估計。

基于以上分析，本文借鑒文獻[14-15]的思想，通過構造補償滑模觀測器，實現了紅外導引高速攔截彈在不滿足干擾估計匹配條件下的未知狀態和干擾的完全估計。然后，將未知狀態和干擾估計信息用于攔截彈IGC系統的設計，利用李雅普諾夫函數證明了制導控制系統的有界穩定性。本文提出的方法拓展了基于滑模觀測器和反步算法的制導控制一體化算法的工程適用范圍，實現了采用紅外導引頭的攔截彈在視線角速度難以獲取且存在非匹配不確定性影響下對目標的高精度攔截。最后，數值仿真結果表明了本文所設計方法的有效性。

1 問題描述

彈-目相對關系如圖1所示，M與T分別代表導彈與目標，其相對運動方程為：

(1)

(2)

式中：R和q分別表示彈目相對距離和視線角，VM與VT是導彈和目標的速度，θM與θT分別是導彈和目標的彈道傾角。對式(2)求導并代入式(1)可得：

(3)

(4)

式(4)中的導彈加速度可表示為

(5)

式中：α是攻角，m為導彈質量，TM是導彈的推力，L是導彈的升力。

導彈的姿態動力學方程為[4]

(6)

式中：?是俯仰角，ωz是導彈的角速率，Jz為轉動慣量，δz是俯仰舵偏，M=M0+Mδzδz表示導彈的俯仰力矩。Mδz是由舵偏產生的力矩,M0為攻角、馬赫數和高度等因素引起的力矩，可近似表示為M0=Mαα+Mωzωz，其中Mα和Mωz分別表示α和ωz引起的力矩系數。當α，ωz和俯仰舵偏δz較小時，升力L和力矩M可寫作

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：

為保證攔截彈擊中目標，應該設計制導控制系統使得x1=0。針對具有非匹配擾動的系統(10)，本文的目標是利用滑模觀測器(Sliding mode observer,SMO)實現未知狀態x1和擾動d的估計，然后結合反步算法設計出一體化的控制變量δz，使得x1=0。但是，利用常規的滑模觀測器，系統必需滿足(A,D,C)的不變零點穩定和擾動估計的匹配條件rank(CD)=rank(D)，而系統(2)中rank(CD)=2, rank(D)=3，不滿足這個條件。下面分析如何通過滑模理論中的等效控制構造補償滑模觀測器，估計系統(10)的未知狀態和干擾，實現紅外攔截彈的輸出反饋制導控制一體化。

2 觀測器設計

根據文獻[10]的附錄，通過對系統x和f做一定的坐標變換，矩陣(A,D,C)可以轉換為

(11)

式中：

引理1[16]. 對于連續正定函數V(t)滿足以下條件

(12)

式中：α>0, 0<η<1是常數，則V(t)在有限時間到零。

系統(11)的未知狀態和干擾可以由如下的滑模觀測器給出

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

對V1從0到t積分可得

(18)

(19)

考慮到隨著t→∞，式(19)中右邊第一項趨于0，則h(t)→δ1。當|e1(0)|>δ1，則h(t)從|e1(0)|遞減到δ1；反之，h(t)從|e1(0)|增加到δ1。因此，h(t)≤max(δ1,|e1(0)|)。令δ=max(δ1,|e1(0)|)，則估計誤差e1(t)是有界的且滿足|e1(t)|≤δ。

(20)

設計參數k2滿足

(21)

則

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

3 制導控制一體化算法設計

(27)

式中:η1>0是控制器增益。

2)定義跟蹤誤差s2=x2-x2c，設計虛擬控制量

(28)

(29)

3)定義跟蹤誤差變量s3=x3-x3c, 系統的實際控制量設計為

(30)

假設2.虛擬控制量x2c和x3c的導數是有界的。

定理2.考慮非線性系統(9)具有有界擾動d，如果利用觀測器(13)對系統的未知擾動和舵效損失同時進行估計，然后代入式(27)～(30)所示的控制器，通過選擇合適的參數，則系統狀態是一致最終有界的,s=[s1,s2,s3]T將漸近地收斂到零附近的小鄰域中。

證. 定義指令濾波函數的誤差分別為ec1=x2c-x2d，ec2=x3c-x3d。令Lyapunov函數

(31)

其中，ec=[ec1,ec2]T。將式(27)～(30)代入式(9)，可得

(32)

對Vs求導可得

(33)

(34)

當選取ηi,i=1,2,3和τi,i=1,2使得τ2<1,τ3<1，η1>c0-2,η2>c1-3-1/τ2,η3>c2-2-1/τ3，則

(35)

式中：ξ=2min(1,2,3,4,5)

4 仿真校驗

本節通過數值仿真對所設計的基于滑模觀測器的輸出反饋控制方法的有效性進行校驗。設置攔截彈初始條件為：VM(0)=1200 m/s，VT(0)=900 m/s，α(0)=0°，ω(0)=0°/s，θM(0)=0°，θT(0)=10°，且導彈的初始位置在(0,16) km，目標的初始位置在(1,16.4) km。舵機模型是時間常數為0.01 s的一階慣性環節且限幅為±30°。導彈的氣動系數參照文獻[4]：

為了進行仿真對比研究，將本文提出的基于滑模觀測器的部分狀態反饋BC方法 (Partial state feedback back-stepping control, PSFBC ) 和文獻[8]中視線角速度未知的基于輸入-狀態穩定和高增益觀測器的制導律 (High-gain observers based partial state feedback control, HOPFC) 分別在標稱情況和氣動參數攝動的情況下進行仿真校驗。目標機動過載設置為5g，并且考慮導彈存在30%以內的氣動參數攝動，對系統(8)分別加外界擾動：dvq=10cos(u/3)+15，dα=5sin(u/2)+3,dω=cos(u/5)+0.5。文中所提方法的觀測器參數和控制器參數分別取為：K1=diag(10,10,10),k2=1,kv=1.5,η1=2,η2=2,η3=4,τ1=0.1,τ2=0.1。

圖2～圖3給出了標稱情況存在未建模動態的仿真結果。當導彈存在30%的氣動參數攝動和外部干擾情況時，其仿真結果在圖4～圖5給出，導彈依然實現了精確打擊目標。兩種制導方法在各種參數攝動以及外部擾動情況下的脫靶量和攔截時間統計結果如表1所示。從表1可以看出，本文提出基于SMO的輸出反饋IGC方法達到了脫靶量小于0.1 m，打擊精度高于文獻[8]中基于高增益觀測器的制導方法。PSFBC方法由于基于高增益觀測器在初始時刻將較大的干擾估計誤差引入了控制器設計中，同時其估計誤差只能漸近收斂于一個小領域，因此不能完全抵消干擾和不確定性對系統的影響。而本文提出的方法，因為滑模觀測器精確估計了未知狀態和干擾，提高了系統的魯棒性。標稱情況下導彈對目標的跟蹤軌跡在圖2(a)中給出,圖2(b)為兩種方法的舵偏變化曲線。由于在初始時刻，高增益觀測器在控制器中引入了較大的干擾估計誤差，因此HOPFC算法的舵偏指令偏差較大且達到飽和，而本文采用方法所需要的舵偏角較小，且過渡過程的動態響應更平緩。到了快接近目標時，兩種方法的導彈與目標碰撞角度不同，導致最后視線角速度的發散方向不同，因此，舵偏指令最后時刻差異明顯。圖3和圖5給出了滑模觀測器對未知狀態Vq和干擾的估計效果，實現了各觀測誤差收斂到零。

5 結 論

本文提出的方法拓展了基于滑模觀測器和反步算法的制導控制一體化算法的工程適用范圍，對于部分狀態無法獲取的導彈也可實現制導控制一體化設計，精確打擊目標。文中嚴格證明了新型SMO的有限時間收斂特性和整個IGC系統的有界穩定。仿真結果表明,導彈可以快速精確擊中目標，系統具有較好的魯棒性、動態性能和制導精度。

參 考 文 獻

[1] 薛文超，黃朝東，黃一. 飛行制導控制一體化設計方法綜述[J]. 控制理論與應用， 2013, 30(12): 1511-1520. [Xue Wen-Chao，Huang Chao-Dong，Huang Yi. Design methods for the integrated guidance and control system[J]. Control Theory and Applications, 2013, 30(12): 1511-1520.]

[2] Xin M,Balakrishnan S N, Ohlmeyer E J. Integrated guidance and control of missiles withθ-D method[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2006, 14(6): 981-992.

[3] 董朝陽, 程昊宇, 王青. 基于自抗擾的反步滑模制導控制一體化設計[J]. 系統工程與電子技術, 2015, 37(7):1604-1610. [Dong Chao-yang, Cheng Hao-Yu, Wang Qing. Backstepping sliding mode control for integrated guidance and control design based on active disturbance rejection[J]. System Engineering and Electronics, 2015, 37(7): 1604-1610.]

[4] Ran M P, Wang Q,Hou D L, et al. Backstepping design of missile guidance and control based on adaptive fuzzy sliding mode control[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2014, 27(3): 634-642.

[5] 齊輝, 張澤, 韓鵬鑫, 等. 基于反演滑模控制的導彈制導控制一體化設計[J]. 系統工程與電子技術, 2016, 38(3):618-623.[ Qi Hui, Zhang Ze, Han Peng-xin, et al. Integrated design of missile guidance and control based on back-stepping and sliding mode control[J]. Systems Engineering and Electronics, 2016, 38(3): 618-623.]

[6] 吳云潔, 張聰. 主從編隊反艦導彈末制導段一體化位姿控制[J]. 宇航學報,2016,37(12):1315-1322. [Wu Yun-jie, Zhang Cong. Integrated control of position and attitude for terminal guidance of leader-follower anti-ship missiles[J]. Journal of Astronautics, 2016, 37(12): 1315-1322.]

[7] 賴超, 王衛紅, 熊少鋒. 攔截大機動目標的三維制導控制一體化設計[J]. 宇航學報, 2017, 38(7):714-722. [Lai Chao, Wang Wei-hong, Xiong Shao-feng. Integrated guidance and control design against highly maneuvering target[J]. Journal of Astronautics, 2017, 38(7):714-722.]

[8] Yan H, Ji H.Guidance laws based on input-to-state stability and high-gain observers[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2012, 48(3): 2518-2529.

[9] 董飛垚，雷虎民，周池軍, 等.導彈魯棒高階滑模制導控制一體化研究[J]. 航空學報, 2013,34(9):2212-2218. [ Dong Fei-yao, Lei Hu-min, Zhou Chi-jun, et al. Research of integrated robust high order sliding mode guidance and control for missiles[J]. Acta Aeronautical et Astronautics Sinica, 2013, 34(9): 2212-2218. ]

[10] Kalsi K,Lian J, Hui S, et al. Sliding-mode observers for systems with unknown inputs: a high-gain approach[J]. AUTOMA-TICA, 2010, 46(2): 347-353.

[11] Ríos H,Efimov D, Davila J, et al. Non-minimum phase switched systems: HOSM-based fault detection and fault identification via Volterra integral equation[J]. International Journal of Adaptive Control & Signal Processing, 2013, 28(12): 1372-1397.

[12] Floquet T, Edwards C, Spurgeon S K. On sliding mode observers for systems with unknown inputs[J]. International Journal of Ada-ptive Control & Signal Processing, 2007, 21(8-9): 638-656.

[13] Tan C P,Crusca F, Aldeen M. Extended results on robust state estimation and fault detection[J]. AUTOMATICA, 2008, 44(8): 2027-2033.

[14] Bejarano F J. Partial unknown input reconstruction for linear systems[J]. AUTOMATICA, 2011, 47(8): 1751-1756.

[15] Wang X, Tan C P, Zhou D. A novel sliding mode observer for state and fault estimation in systems not satisfying matching and minimum phase conditions[J]. AUTOMATICA, 2017, 79: 290-295.

[16] Wei X J,Guo L. Composite disturbance observer based control and terminal sliding mode control for non-linear systems with disturbances[J]. International Journal of Control, 2009, 82(6): 1082-1098.