關于抽樣分布定理的一個證明

2018-06-05 10:18:02馬朝忠鄧西云張巖

科教導刊 2018年3期

馬朝忠　鄧西云　張巖

摘要利用實稱矩陣的性質，根據化二次型為對標準形方法，采用代數中正交變換的方法對概率論與數理統計中的一個抽樣分布定理進行了重新證明，并說明了每一步產生的理論依據和思想來源，使得這個定理的證明思路更加清楚，更易于接受。

關鍵詞實對稱陣二次型標準形抽樣分布

中圖分類號：O211 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.01.027

A Proof of Sampling Distribution Theorem

MA Chaozhong[1]， DENG Xiyun[2]， ZHANG Yan[1]

（[1] College of Science， PLA Information Engineering University， Zhengzhou， Henan 450001；

[2] Zhengzhou No.43 Middle School， Zhengzhou， Henan 450001）

Abstract According to the property of real matrix， a sample distribution theorem in probability theory and mathematical statistics is proved again by the method of quadratic form of the standard form and the method of orthogonal transformation in algebra， Theoretical basis and source of thought， making the proof of this theorem clearer and easier to accept.

Keywords symmetrical array； secondary type； standard form； sampling distribution

抽樣分布在概率論與推斷統計中具有承上啟下的作用，一方面，它把的抽象的概率理論實用化，成為一種可以應用風險推斷的方法；另一方面，它是推斷統計的重要理論基礎，使風險推斷具有科學的理論依據。同時，在數理統計教學中，抽樣分布定理也是區間估計和假設檢驗等統計推斷技術的理論根據。因此，厘清抽樣分布定理的證明思想和證明方法對于加深理解、增強記憶都有很大的幫助。

對于抽樣分布定理，文獻[1]和[2]都不同程度對給出了證明，但是在文獻[1]中，主要討論了期望為0的情況，文獻[2]則對正交化、單位化等方法的來源未作說明，同時，二者都是直接說可以通過一個正交變換來進行證明，而把正交變換是如何得到的這一關鍵環節省略了，導致定理的證明不易理解。針對這一問題，本文利用實稱矩陣的性質，根據化二次型為對標準形方法，采用代數中正交變換的方法對概率論與數理統計中的一個抽樣分布定理進行了重新證明，并說明了每一步產生的理論依據和思想來源，使得這個定理的證明思路更加清楚，更易于接受。

定理：設是來自總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差，則有

（1）；

（2）與相互獨立。

思路：由，根據分布的定義，就是考察是否可以分解為個標準正態分布的平方和，據此，對進行分解。

證明：設，則。

由（6）式知，是關于的二次型。由于矩陣A為實對稱陣，可知A必存在正交陣使得A可相似對角化，據此，以下利用化二次型為標準形的正交變換方法，化（6）式為標準形。

首先，寫出A的特征多項式，計算矩陣A的特征值。

得基礎解系，因為實對稱矩陣的互異特征值對應的特征向量必正交，所以只需要對單位化，得到。

然后，構造正交陣P化二次型為標準形。

令，則有。從而有使得

由于P為正交陣，則P可逆且，從而，即

亦即；又由于，，且相互獨立，所以它的線性組合也服從正態分布；根據期望的性質，有，，因此，且相互獨立；由分布的定義，再結合（7）式可知，即。又由（3）式和（8）式有，再由（1）式可得，可以看出，只與相關。由（7）式知只與，而與相互獨立，所以與相互獨立。