結合科研實際的離散數學教學方法探索

劉明

摘 要 針對離散數學課程的課時短、難度大導致的學生學習興趣不足，效率低下，教學效果不理想的問題，本文提出了一種理論結合科研實際的離散數學教學方法，以達到培養學生自主學習動力，激發學生學習興趣的目的。在理論授課的同時，結合科研實際中離散數學的具體應用，對離散數學中的數學定義和具體應用進行類比分析，提高學生的感知認識，實現教學質量的有效提升。

關鍵詞 離散數學 類比分析 教學方法

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.02.050

Abstract Focusing on the problem of short time and difficult to grasp of discrete mathematics curriculum， which results in lacking interest in learning of the students， inefficiency and unsatisfactory teaching effect， this paper puts forward a discrete mathematics teaching method based on scientific research combing the theory so as to cultivate the students' autonomous learning power and achieve the final goal of stimulating students learning interest. Along with the theoretical teaching， the practical applications of discrete mathematics are introduced into the classes， the analogical analysis of mathematical definition and specific application in discrete mathematics are carried out to improve the students' perception. Effective improvements of teaching quality can be obtained with satisfactory.

Keywords Discrete Mathematics； analogical analysis； teaching method

0 引言

離散數學（Discrete Mathematics）是計算機專業的一門專業基礎課，在計算機科學中有著重要而廣泛的應用，是計算機專業課——數據結構、操作系統、編譯原理、數據庫和算法分析等課程的先導基礎課程。此外，其還是計算機科學與技術、軟件工程、通信工程、電子信息工程、電磁場與微波技術以及智能科學技術等計算機類、信息類本科專業的核心基礎課程之一。目前，離散數學已經在當下流行的機器學習、模式識別和圖像處理等科研領域中起到了重要的數學支撐作用。

鑒于離散數學的重要作用，如何讓相關專業學生掌握其精髓至關重要，需要相關領域學者從教學內容、教學方式等方面不斷地開拓創新。本文提出一種在教學中結合相關科研實際的教學方法，以期化繁為簡，達到深入淺出地傳授離散數學中的理論知識點，激發學生的興趣，提高教學質量的目的。理論結合實際的教學方法既提高了學生的理論水平，又為后續學生攻讀碩士研究生和博士研究生打下科研基礎，可大幅度提高學生利用數學知識解決實際問題的興趣和能力。

1 面臨的困難

離散數學具有難度大和課時短的特點，雖然已經有諸多有效的教學方式和方法被提出，但在實際教學過程中可以發現，雖然同學們的學習熱情和理解能力確實取得了一定程度的進步，但距離預期的目標仍然較遠，學生的自主學習熱情和動力仍然不足，對概念和定義的理解仍然不夠透徹。

根據教育部“離散數學”教學指導委員會的建議，國內離散數學的教學大致可以分為科學型、工程型和應用型三種類型，每種類型對應的學時分別為108個學時、90個學時和72個學時。然而，在實際的教學過程中，離散數學的教學課時量常常會被壓縮，一般正式授課時間約為48學時，我校為54學時。如何在有限的時間里把大量知識點傳授給學生，并同時將能力傳播給學生，給“離散數學”的教學提出了嚴峻的挑戰。通過減少學時數量、降低考試難度的途徑則會南轅北轍，使得學生無法認識到“離散數學”在個人專業建設上的重要地位。

離散數學由于其本身的數學性質，難度較大。若在實際教學中，把“離散數學”作為一門數學課進行授課，采用數學系老師采用的“定義—定理—證明—習題”的教學模式，則嚴重忽視了“離散數學”的實際應用背景，導致學生本能的厭惡與排斥，降低了學習興趣，最終影響教學質量。

面對這些困難，在離散數學的教學過程中急需尋找新突破來改善離散數學的教學方法。想要激發學生的主動性和興趣，必須加強理論聯系實際的環節。

2 理論講授與實際應用的結合

如前所述，教師很容易把離散數學課程當成數學課來處理，只講定義、概念和理論，而對這些知識的實際應用背景則介紹甚少，甚至完全不涉及。想要提高學生的學習積極性，授課必須結合相關領域的實際應用背景進行，這樣才能提高教學的針對性，使學生覺得學有所用，激發興趣。那么研究如何為離散數學的各部分教學內容找到應用的實例，是理論結合實際的重中之重。

教師將其自身的科研及學科前沿的課題引入教學中是一種極佳的途徑，因為教師對自己的課題研究時間和深度都足夠，對其有深入的理解，因此可以深入淺出的結合離散數學中的定義和概念。這樣就可以使學生盡早接觸科研，使學生們的科研能力得到鍛煉，學生不僅掌握基礎理論，而且培養了學生的科研能力和科研興趣。以下通過本課題組科研項目中用到的一個較為簡單的科研實例對圖論部分的基礎定義和概念開展分析。

2.1 模式識別中圖模型的構建

2.1.1 圖的基本概念

無向圖：邊沒有方向的圖。

連通：在某個已知的無向圖里，從圖中的某一點a到另一點b或者從b到a之間存在一條路徑，便稱a和b之間為相互聯通的。

單純的定義無法使學生產生直觀的認識，更無法意識到這些定義對實際的工程實踐與科學研究有什么意義。結合實際應用開展分析與教學可達到事半功倍的效果。

2.1.2 模式識別中圖的使用

在模式識別領域中，如何捕獲數據結構，并保持降維前后數據的本質結構對高精度識別至關重要。為此國內外學者付出了諸多努力，一種有效的方式為將流形學習理論引入到模式識別的框架中，其通過近鄰矩陣的構建描述數據的局部結構。將近鄰矩陣的每一個元素建模為以下形式：

（1）

其中，和表示數據集中的第個和第個樣本，[ ]表示指數函數，為常數，表示樣本的個近鄰點，表示樣本的個近鄰點。通過近鄰矩陣對數據結構進行描述后，可通過目標函數和優化算法實現高精度識別。

事實上，近鄰矩陣在本質上就是采用加權圖對數據進行描述。該圖為一個具有多個節點的無向圖，每一個樣本用圖中的一個節點表示。對于某個給定的樣本而言，如果其他樣本位于其個近鄰點范圍，則在兩者之間連接一條邊，并施加一個根據公式（1）計算得到的權值；若樣本不位于其個近鄰點范圍，則兩者之間沒有邊連接。通過這種圖模型的構建，就可以實現數據內在結構的準確描述，為模式識別中的特征提取提供重要的結構保持信息，該圖的示意圖如圖1所示，圖1中每種標記表示一類樣本，近鄰點數量。

通過這個簡單的例子，既可以讓學生從枯燥的數學定義中擺脫出來，而且也使得學生對于圖的理解不再簡單地停留在概念上，可使得學生不再困惑所學究竟為何用。事實上，更復雜的圖模型的使用可能會使學生對概念的理解更加清晰，因為更復雜的圖模型會引入更細節的把握，但也有可能使得學生陷入背景問題而脫離了離散數學本身，因此我們暫時僅在教學中引入簡單的圖模型，這樣既提高了同學們的學習興趣，也達到了教學的目的。

3 結論

“離散數學”作為計算機大類專業的一門重要的專業基礎課，除了計算機領域，其在諸多電子信息相關領域也具有廣泛的應用。本文提出了在教學時結合相關科研領域中的實際應用例子，深入淺出地傳授和講解“離散數學”中的知識點，采用理論教學結合科研實踐的思路，喚醒學生的學習動力，激發學生的主動學習興趣，從而提高教學質量，使學生的理論水平和科研能力都得到有效的提高。

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