無窮大導(dǎo)數(shù)幾何解釋的新論述

王以忠

摘 要：本文研究了函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)為無窮大的幾何解釋的新論述問題.首先，指出了現(xiàn)行微積分教程中的一個漏洞，目前的微積分教程都認(rèn)為：當(dāng)函數(shù)在在一點處的導(dǎo)數(shù)為無窮大時，相應(yīng)的曲線在該點處有垂直切線.實際上，這種觀點是錯誤的.然后，糾正了這一錯誤觀點，并給出了新的正確論述。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 無窮大 幾何解釋 廣義函數(shù) 單位脈沖信號

中圖分類號：G40-03 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）01（b）-0206-02

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不僅是個重要的數(shù)學(xué)問題，同時，它也在當(dāng)代科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域扮演了極其重要的角色，具有十分廣泛的應(yīng)用，在科學(xué)與技術(shù)中占據(jù)不可或缺的地位，更是研究連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)繞不過的一個對象，許多文獻(xiàn)中都有相關(guān)的論述和結(jié)論。

導(dǎo)數(shù)是我們運(yùn)動地看問題的重要工具，這一重要數(shù)學(xué)概念及其思想方法在實際應(yīng)用中也得到了進(jìn)一步的延伸和發(fā)展。文獻(xiàn)[1]提出了基于導(dǎo)數(shù)光譜信息合意空間的標(biāo)度集的構(gòu)建策略和方法，新方法充分利用了各種導(dǎo)數(shù)光譜信息空間，改進(jìn)了Kennard–Stone標(biāo)度集構(gòu)建的策略，同時，也增強(qiáng)了多變退化模型的預(yù)測性能。文獻(xiàn)[2]探索了磁異常模量垂向一階導(dǎo)數(shù)的特征及應(yīng)用問題，提出了磁異常模量的垂向一階導(dǎo)數(shù)的處理方法，研究了二維異常體和三維異常體與異常體的磁化方向的關(guān)系，所提出的方法相比磁異常模量具有更小的中心偏移量和相對峰值，與其他磁異常轉(zhuǎn)換模量相比，新方法具有占用的存儲空間小且便于計算等優(yōu)點。由此可見，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不僅是個重要的基礎(chǔ)概念，它在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和工程領(lǐng)域中的功用也是非常強(qiáng)大的。同時，工程領(lǐng)域中導(dǎo)數(shù)為無窮大的情形也經(jīng)常遇到，雖然這是一個精典的問題，但有一種情形長期以來一直被大家所忽視。現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教材[3-4]對于平面曲線的垂直切線問題的認(rèn)識是錯誤的，它們簡單地認(rèn)為函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)為無窮大時，相應(yīng)的曲線在該點處就有垂直于橫坐標(biāo)軸的切線，實際上，這一觀點是錯誤的，下面將就這一問題展開研究。

如果在處的導(dǎo)數(shù)是無窮大，一般文獻(xiàn)都認(rèn)為相應(yīng)的曲線在處有垂直于軸的切線=。事實上，這種觀點是有問題的。看下述例子：

討論函數(shù)

（1）

在x=0處的導(dǎo)數(shù)。

依題設(shè)，，

，故

上述函數(shù)的圖象在=0處都沒有切線，直線=0不是它們的切線，因為它不符合曲線的切線的特征。我們從力學(xué)角度揭示一下切線的特征，如一質(zhì)點沿一條光滑曲線移動，當(dāng)質(zhì)點在切點處脫離曲線時，它應(yīng)沿曲線的切線方向飛出。由此可見直線=0不是上述曲線在（0，0）處的切線，這個例子也說明文獻(xiàn)[3-4]等許多文獻(xiàn)關(guān)于這一問題的論述是錯誤的。

綜上可見，關(guān)于函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)為無窮大與垂直切線問題，大家還存在認(rèn)識誤區(qū)，本文將就這一問題展開討論，給出曲線的垂直切線的正確定義，并進(jìn)一步研究無窮大導(dǎo)數(shù)與單位脈沖信號之間的關(guān)系問題。

1 無窮大導(dǎo)數(shù)幾何解釋的新論述

在這一部分中，我們將就曲線的垂直切線問題重新予以探討，對于函數(shù)，并不是當(dāng)時，相應(yīng)的曲線就有垂直切線，導(dǎo)數(shù)為無窮大不是曲線具有垂直切線的充分條件.下面給出曲線的垂直切線的新的論述。

命題.設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且滿足

，

那么，直線=則為曲線在處的切線。

例如函數(shù)在=0近旁連續(xù)，在=0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且有，故在=0處的有垂直切線=0。

當(dāng)函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)為無窮大時，有一種情況與單位脈沖信號關(guān)系密切。在這一部分中將對這一問題展開討論。

在實際工程問題中，有許多物理現(xiàn)象表現(xiàn)出一種脈沖特征，它們的量值僅在一個極短的時間內(nèi)甚至在某一點處出現(xiàn)，如力學(xué)中的瞬時沖擊力、質(zhì)點的質(zhì)量、電學(xué)中的脈沖電流和自然界中的閃電等等，這類物理現(xiàn)象需要用一個時間極短，但取值很大的數(shù)學(xué)模型來描述。單位脈沖信號正是為了描述這類問題和解決相關(guān)問題而引出的，單位脈沖信號在信號的頻譜分析、航空等許多工程領(lǐng)域中的地位越來越重要、應(yīng)用也越來越廣泛[5]。

單位脈沖信號涉及到無窮大，不能用常規(guī)意義下“值的對應(yīng)關(guān)系”來定義，起初并不被數(shù)學(xué)家們所接受，當(dāng)今它已經(jīng)成為許多理論數(shù)學(xué)家和應(yīng)用數(shù)學(xué)家必備的工具了。它實際上是一種廣義函數(shù)，是一種定義在某基本空間上的線性泛函.在這里，我們采用弱極限來定義單位脈沖信號。

定義.設(shè)，如果滿足條件

（2）

其中即的弱極限為，那么就

稱為單位脈沖信號或單位脈沖函數(shù)。

稱為單位階躍函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)是單位脈沖信號，即。可在通常意義下單位階躍函數(shù)在t=0處并不可微，這樣就遇到了困難，引進(jìn)單位脈沖信號之后這一困難便迎刃而解了。我們知道，但單位階躍函數(shù)在t=0處并無垂直切線。

無窮大導(dǎo)數(shù)在單位脈沖信號中扮演了重要角色，而單位脈沖信號在工程領(lǐng)域又扮演了至關(guān)重要的角色。因此，研究無窮大導(dǎo)數(shù)對于許多工程問題意義重大。

2 結(jié)語

本文指出了現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教程中的一個漏洞，目前的高等數(shù)學(xué)教材都認(rèn)為：當(dāng)函數(shù)在在一點處的導(dǎo)數(shù)為無窮大時，相應(yīng)的曲線在該點處有垂直于橫坐標(biāo)軸的切線。本文通過實例佐證了這一命題的錯誤性，然后，給出了這一問題的新的正確論述。同時，討論了無窮大導(dǎo)數(shù)與單位脈沖信號的關(guān)系問題。本文所給出的示例說明了我們的論述的正確性。

參考文獻(xiàn)

[1] Li Zhigang，Liu Jiemin，Shan Peng，et al.Strategy for constructing calibration sets based on a derivative spectra information space consensus[J].Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems，2016，156（15）：7-13.

[2] 劉圣博，陳超，胡正旺.磁異常模量垂向一階導(dǎo)數(shù)的特征及應(yīng)用[J].地球物理學(xué)報，2011，26（2）：647-653.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[4] 周運(yùn)明，尚德生.數(shù)學(xué)分析[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[5] 徐天成，谷亞林，錢玲.信號與系統(tǒng)[M].3版.北京：電子工業(yè)出版社，2011.