極限中的辯證法

方宜

摘 要 變化與不變，近似與精確，看似對立，卻在極限過程中達到統一。

關鍵詞 極限 辯證法

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

1數列極限的本質

（1）描述性定義：當數列的項數無限增大時，相應的項無限趨近于常數，則稱常數是數列的極限，記作.

（2）定義：對于數列和常數，，正整數，使得當時，都有，則稱常數是數列的極限，記作.

對于數列極限，無論是通俗易懂的描述性定義，還是邏輯嚴密的定義，敘述的都是同一個結論，數列極限的本質就是數列的項的變化趨勢是無限接近于常數。

2極限中的量變與質變

隨著項數的增大，數列的項與常數接近的程度，在描述性定義中，用了“無限趨近于”這么一個模糊而又形象的描述。而在定義中，用表示數列的項與常數接近的程度。由于是任意給定的，表示數列的項與常數接近的程度可以人為控制，通俗地講，只要數列的項數，（是根據不等式得到的，與有關的一個正整數。）數列的項與常數接近的程度就可以要多近就可以有多近。在一般情況下（常數列除外），無論數列的項數有多大，數列的項與常數始終有差距。即在過程中，數列的項與常數差距只有量變（差距越來越小），只有在終點（極限）才能產生質變（差距為0）。下面以一個例題進一步展示極限中蘊含的辯證法。

3實例

由上面的計算過程可以看出，越大，時間小段分得越多，的值越接近的值，但無論取多大的值，的值只能發生量變，與的誤差永遠無法消除。只有在趨向于無窮大對取極限時，與的誤差才會消除，在取極限的過程中，的值才會產生質變，即

通過上面推導過程可以發現，因為變化導致難以計算。為了消除變化，我們用不變的值近似代替變化的值，因此產生了誤差。雖然可以采用增加小時間段的數量，減小每段時間的間隔來減少變化，同時減少誤差。即越來越大，時間間隔越來越小，但變化和誤差始終存在，無法消除。變化和不變，近似值與精確值在計算過程中，只有量變，沒有質變，始終對立，無法統一。只有在取極限時，在趨向于無窮大的過程中，從量變達到了質變。實現了變化與不變，近似與精確的矛盾統一。