行走在變與不變之間 構建生態素養的課堂
——以《圓柱表面積與體積練習》一課為例

福建省福州實驗小學 楊承軍

課堂教學在為學生今后可持續性發展學習夯實基礎的同時，還應當充分展示學生的生命價值。作為教師，我們不僅要關注學生的學習狀況，還要關注學生的思維水平，更要關注學生的生命狀態。為此，我們倡導“數學生態課堂”，實質就是倡導人本主義的課堂，就是強調以學生為主體、以學生發展為第一要務的課堂教學。應該說，把教育生態原理引進數學課堂，在倡導核心素養的今天有著現實的意義。本文試以《圓柱表面積與體積練習》一課教學為例，談談生態數學課堂的構建。

一、不變中求變化，發展空間觀念

蘇軾在《赤壁賦》中寫道：“蓋將自其變者而觀之，則天地曾不能以一瞬；自其不變者而觀之，則物與我皆無盡也。”他從哲學的角度感慨人生中變與不變的道理。從數學的角度來看，世界上的事物也是千變萬化的，而變化中又蘊含著變與不變的因素。如何從“不變中求變化” “變化中抓不變”是我們解決問題的突破口，也是重要的數學思想方法之一。

小學數學教材中蘊含著許多變與不變的素材，教師鉆研教材時應深入挖掘，并在教學之中無形滲透，有助于培養學生求同存異的思維品質，幫助學生解決煩瑣復雜的問題，提高學生的數學素養。例如，六年級學生已經認知了圓柱的特征，初步掌握了圓柱表面積與體積的計算方法，在這個基礎上，教師可以設計自然和諧的數學活動，讓學生自主探究，主動發展。

上課一開始，教師給每個同學都準備了一張長30厘米、寬20厘米的長方形紙，同桌合作交流，讓學生開動腦筋思考：能不剪、不折，通過不同的方法變出圓柱嗎？比一比誰變出圓柱的辦法又多又快。

學生匯報，出現以下三組6個不同的圓柱：

1.把長方形紙卷成一個圓柱，長是圓柱的底周長，寬是圓柱的高或長方形的長是圓柱的高，長方形的寬是圓柱的底周長。

2.繞著長方形的寬旋轉一周成一個圓柱，長方形的寬是圓柱的高，長方形的長是圓柱的底半徑。

3.繞著長方形的這條對稱軸旋轉一周，變出了圓柱，長方形的寬是圓柱的高，長方形的長是圓柱的底面直徑。

學生匯報后，其他學生閉上眼睛想象圓柱的形狀后，教師課件動態演示。

教育生態學認為，教師的教學理念、學生的學習態度、興趣是課堂教學中主要的限制因子，教師要找準課堂中的限制因子，變限制因子為非限制因子，提高課堂的效率。這個教學片段改變了傳統的教學練習課缺少靈動創意，僅僅鞏固已經學習的圓柱表面積和體積的知識，讓學生解決問題以鞏固雙基的做法。由一張看似不變的紙，讓學生自由馳騁思維，大膽去想象、去創造，通過卷曲、旋轉等方法，得出各種不同的圓柱體，從二維到三維的想象，讓學生在自己頭腦想象的過程中清晰地構建起圖形表象，不僅有效激發了學生的興趣，而且給學生創建了一個自然、和諧、平等的學習環境，在有效激發起學生個體這一最基本、最活躍的生態因子的同時，教師能夠充分關注每個學生的認知過程，關注學生知識掌握的過程，關注數學素養，真正做到以學生發展為本，培養起學生“獨立之精神，自由之思想”。

二、變化中尋不變，培養深度思維

世界上的事物總是在不斷變化、發展著的，而變化中又蘊含著聯系和不變的因素，從錯綜復雜的變化中發現這種聯系和不變，往往是解決問題的突破口，這也就是著力培養學生的數學核心素養。對此，南開大學顧沛教授是這樣闡述的：“數學核心素養是具有數學基本特征的、適應學生個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力。”因此，教師在教學中應抓住“變與不變”的關系，引導學生在聯系和不變的比較辨析中，清晰準確地把握數學的本質特征，提升學生的數學核心素養。

學生通過創造圓柱活動變出六個不同的圓柱后，教師引導學生發現問題、提出問題，讓學生用數學的眼光觀察世界，培養學生的數學思維。為此，我們設計一系列相關聯的數學活動，讓學生觀察圍成的圓柱體的側面積、表面積和體積的變化，從中體會到要探究圓柱體的側面積、表面積和體積，本質就是探究這張長方形紙長、寬之間的密切聯系。

師：剛才同學們用圍和旋轉的辦法將一張長方形紙變出了6個不同的圓柱（課件呈現三組不同的圓柱，如圖1），上面的叫矮圓柱，下面的叫高圓柱。

圖1

師：比較每一組里的矮圓柱與高圓柱，你能提出什么數學問題？

生：矮圓柱與高圓柱比，誰的體積大？

生：矮圓柱與高圓柱比，誰的表面積大？

師：你們提出的問題都很好，比較每組矮圓柱與高圓柱，你們大膽地猜一猜體積和表面積有何變化？你們再猜一猜：在變化中什么沒有變？

學生猜測后，教師板書：圓柱的側面積不變，表面積和體積變了？

同桌合作進行驗證，驗證過程使用計算器。

學生匯報。

第一組學生：我們驗證了第一組圍成的兩個圓柱，側面積不變，表面積和體積變了。

師：側面積不變你是怎么驗證的？

生：我計算的，都是等于600平方厘米。

師：除了計算還有沒有其他更快的方法？

生：我認為不用計算，它們兩個圓柱的側面都是這張長方形紙啊！

師：真棒！這里可以不計算的。表面積你們也是計算嗎？

生：矮圓柱表面積是 757cm2，體積是1570cm3；高圓柱表面積是 656.52cm2，體積是847.8cm3。

生：側面積不變，矮圓柱的表面積比高圓柱的表面積大，因為底面積大，這也可以不計算。

師：不同的孩子有不同的思考。

第二組學生匯報：我們驗證了繞長和寬旋轉的兩個圓柱，側面積不變，表面積和體積變了。我們是通過計算驗證的。

師：側面積不變？你們能列出算式嗎？

生：矮圓柱的側面積是這樣列式的：30 × 2 × 3.14 × 20。高圓柱的側面積是：20×2×3.14×30。因數的個數一樣，因數也一樣，積肯定相等，不用計算了，側面積一樣，底面積矮圓柱大，表面積也大。

師：太棒了，掌聲響起！計算是一種辦法，對比因數和它的個數就能知道誰的側面積大了，這也是很好的辦法呀！

第三組學生匯報：我們驗證了分別繞長方形兩條對稱軸旋轉的兩個圓柱，側面積不變，表面積和體積變了。

師：剛才各組通過觀察、計算、推理、比較等方法得到了什么結論？

生：每一組圓柱的側面積不變，表面積和體積變了。

師出示數據統計表，如圖2：

圖2

師：老師把你們剛才驗證的數據整理在一張表中，觀察這張表，還發現了每一組里的兩個圓柱的表面積和體積的變化有什么規律嗎？

生：側面積不變的情況下，底面積越大，表面積和體積也越大。（師板書）

鄭毓信教授認為：“數學學習的一個主要價值就是有利于人們思維方式的改進，并能使人們逐步學會更清晰、更合理、更深入地思考問題。”學生對比高、矮不同的圓柱，思考并提出“哪個圓柱體積大？哪個圓柱表面積大？” 的有價值的數學問題，同時產生這樣的直覺思維：用同樣一張紙“變”的兩個圓柱，側面積不變，矮圓柱的表面積和體積更大，抓住這一有效的思維契機，教師順勢誘導學生進一步思考：根據猜想怎樣進行驗證？由于學生的個體思維發展不同，選擇驗證的方法也不同，在這樣的生態課堂中，教師遵循耐度定律、最適度原則，在思維強度上控制在一定范圍，提高課堂效果。這一個教學片段中，因為充滿了平等、充滿了尊重，學生由直覺思維到合情推理，由一張紙變成圓柱，進而引導學生提出問題，探究解決問題的過程中，無不充滿著智慧的挑戰，學生思維的深度得以不斷提升。

三、探究中建模型，提升數學素養

對于新課程來說，最重要的是讓學生真正理解數學。在這種意義下，數學建模是非常重要的。而所謂數學模型，是指針對或參照某種事物的特征或數量相依關系，采用形式化的數學語言概括或近似地表述出來的一種數學結構。構建理想課堂，滲透數學建模思想，就應該讓學生經歷探究數學規律的過程，幫助學生在活動中體會數學、了解數學、認識數學。教學中，我們采用“問題情景——建立模型——解釋、應用與拓展”的過程來進行。

通過同樣一張紙“變”出不同的圓柱，當學生提出“側面積不變，矮圓柱的表面積和體積更大”時，教師一般組織學生通過計算加以驗證，得出結論后這節課就完成了。我們認為數學核心素養的課堂，需要教師有更長遠的眼光，有更高的教學目標追求，既要讓學生知其然，更要讓學生知其所以然。這就需要教師適時滲透數學模型思想，這是促進學生可持續發展的關鍵，這會持續地、隱性地影響一個人從事數學以外活動時的思維和做事方式。為此，我們組織學生進行下面的探究：

師：這是我們在有限的時間里研究三組圓柱得到的結論，通過一張長方形紙圍或旋轉得到的每組圓柱，我們發現：每組圓柱側面積相等，底面積越大，表面積和體積越大，我們還能用其他辦法驗證這個結論嗎？

生：我再用一張長10厘米、寬5厘米的長方形紙變出圓柱來驗證。

生：我用長25厘米、寬12厘米的紙變出圓柱驗證。

師：說得完嗎？那怎么辦？

生：老師，可以用字母代替。

師：好辦法，如果長為acm，寬為bcm，你能算出B組兩個圓柱的體積比嗎？

學生建模后匯報：

師：今天回去后大家用這種辦法算出A組、C組的兩個圓柱的表面積和體積的比。

師：同學們，你們即將升入中學，在中學數學里很多時候要用定義定理來證明結論，今天的學習對你們未來的學習是很有幫助的。

學生在課后均完成了其他兩組的建模作業。

生態的數學課堂注重從教育生態鏈法則反思課堂教學，課堂教學培養出來的學生要適應未來社會的需求與終身發展。眼界決定境界，因為自然和諧，所以師生形成了“學習共同體”，學生很自然地提出用字母驗證，這就是構建數學模型；因為尊重個性，所以優秀的學生能自己用字母驗證了B組圓柱的體積比，而老師并沒有要求所有的孩子都要達到如此高的要求；因為開放、共生，所以課堂上沒有建模的孩子在優秀學生的影響下產生想成功的心理，回家后也努力驗證。

生態的數學課堂，順應自然、尊重個性、返璞歸真、教學相長，學生才會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界，核心素養才能從課堂中生長出來，才有詩和遠方的田野。

[1]陳旗敏．教育生態學視野下的課堂教學[J]．內蒙古師范大學學報（教育科學版），2008，21（1）：110．

[2]張連明，數學模型．“科普中國”百科科學詞條編寫與應用工作項目審核．