用幾何圖形的性質巧解圓錐曲線的離心率

陜西省商洛中學 楊小勇

圓錐曲線的離心率是歷年高考的熱點，求離心率的難點在于如何建立a，b，c 之間的等式，而復雜的代數計算不但費時，而且錯誤率高。早在必修2第二章《解析幾何初步》開篇就指出，解析幾何是利用代數方法來研究幾何圖形的性質的一門學科。所以，如果我們能更好地利用幾何圖形的性質，建立關系，將對解決離心率問題起到事半功倍的輔助作用。

一、巧用幾何圖形確定點的坐標，求解離心率

例1 （2015·新課標全國Ⅱ，11）已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（ ）

解析：設雙曲線為如圖，過M做MN⊥X軸于N，在Rt△MNB中，∠MBN=60°，則M點坐標為（2a，在雙曲線上，代入有則a=b，為等軸雙曲線，所以離心率e= ，故選D。

二、巧用幾何圖形建立方程，求離心率

例2 （2017新課標全國II，理15）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點。若∠MAN=60°，則C的離心率為________。

解析：如圖所示，作AP⊥MN，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點，則MN為雙曲線的漸近線上的點，設漸近線的傾斜角為α，則在Rt△APO中，

例3 （2017課標III，理11）已知O為坐標原點，F是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點，P為C上一點，且PF⊥x軸。過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E。若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為（ ）

解析：設OE的中點為N，則有△AFM∽△AOE，△BON∽△BFM，所以由OE=2ON

總之，解析幾何中圓錐曲線的離心率問題，我們利用純代數的計算來研究，不但計算麻煩，更易出錯。用華羅庚教授的話來講：“數形結合百般好，割裂分家萬事休。”

[1]趙婷.“圓錐曲線與方程”單元教學設計研究[D].天水師范學院，2017.

[2]張海峰，趙濱.數形結合巧解雙曲線的離心率兩法[J].新課程導學，2016（14）：5.

[3]王草野.圓錐曲線學習中存在的問題及對策研究[D].蘇州大學，2014.

[4]侯德運.探究離心率的求解策略[J].數學學習與研究，2013（09）：77.

[5]蔣明權.離心率求法“十注意”[J].第二課堂（高中），2010（07）：51-57.