如何解決有關(guān)一次函數(shù)的信息圖像問題

摘要：一次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中是相對(duì)重要的知識(shí)點(diǎn)，讀者在行程與一次函數(shù)相結(jié)合的問題上理解淺薄，解題困難.筆者基于歷年解題經(jīng)驗(yàn)，將一元一次方程與一次函數(shù)圖像之間的相互轉(zhuǎn)化與利用詳細(xì)解答出來.

關(guān)鍵詞：一元一次方程；一次函數(shù)；信息圖像

回顧一次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，讀者能夠熟練地將文字信息轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系里的一次函數(shù)，但是如何從一次函數(shù)里面提取出有效信息卻成為一個(gè)難點(diǎn).下面筆者從行程問題出發(fā)，進(jìn)行詳細(xì)的過程梳理，談?wù)勅绾卫靡淮魏瘮?shù)和方程之間的轉(zhuǎn)化來解決信息圖像問題，希望對(duì)讀者有一定幫助.

一、一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程

例1、（2017重慶市初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試A卷）A、B兩地之間的路程為2380米，甲乙兩人分別從A、B兩地出發(fā)，相向而行，已知甲先出發(fā)五分鐘后，乙才出發(fā)，他們兩人在A、B之間的C地相遇.相遇后，甲立即返回A地，乙繼續(xù)向A地前行，甲到達(dá)A地時(shí)停止行走，乙到達(dá)A地時(shí)也停止行走，在整個(gè)行走過程中，甲、乙兩人均保持各自的速度勻速行駛，甲乙兩人相距的路程y（米）與甲出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，則乙到達(dá)A地時(shí)，甲距離A的路程為 米.

解析 結(jié)合文字?jǐn)⑹龊秃瘮?shù)圖像進(jìn)行分析，

在第0分鐘時(shí)，甲、乙兩人相距2380米，即A、B兩地相距2380米；

在第5分鐘時(shí)，甲、乙兩地相距2080，由于這5分鐘內(nèi)只有甲移動(dòng)300米，可得 米/分鐘；

在第14分鐘時(shí)，甲、乙相距910米，此時(shí)甲出發(fā)了14鐘，乙出發(fā)了9分鐘，可得 ，得 米/分鐘；

甲、乙相遇，甲、乙的距離為0米，假設(shè)在第x分鐘相遇，可得 ，從而x=21分鐘； 在第21分鐘時(shí)，甲只改變運(yùn)動(dòng)方向，和乙同向駛向A地，甲到達(dá)A地用時(shí)21分鐘，路程為1260米，因此乙到達(dá)A地時(shí)間為18分鐘；

由此可以可知甲比乙慢3分鐘到達(dá)，故相距A地180米.

審題時(shí)注意理解y的含義，把復(fù)雜的問題慢慢解剖，細(xì)細(xì)分析，轉(zhuǎn)化為一元一次方程問題，一道看似困難的題目就輕松解決了.

二、方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)

例2、甲、乙兩車分別從相距300千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，其中甲到達(dá)B地后立即返回，如圖是它們離各自出發(fā)地的距離y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖像.

（1）求甲車離出發(fā)地的距離 與行駛時(shí)間 之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值范圍；

（2）它們出發(fā) 小時(shí)時(shí)，離各自出發(fā)地的距離相等，求乙車離出發(fā)地的距離 與行駛時(shí)間 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，求它們?cè)谛旭傔^程中的相遇時(shí)間.

解析

（1）由圖知，甲是一元一次函數(shù)，但需分段表達(dá)，該處利用待定系數(shù)法求解，解得 .

（2）圖中y的含義是各自離出發(fā)地的距離，當(dāng)在 小時(shí)時(shí)， 和 相等，即兩函數(shù)相交于一點(diǎn)，利用（1）中的函數(shù)關(guān)系，求出 ，從而得出乙的函數(shù)關(guān)系，解得 ， 的取值范圍需要注意乙到達(dá) 地所用時(shí)間， .

（3）甲、乙兩車相遇時(shí)，甲離 地的距離與乙離 地的距離和為 兩地的距離，即 .由于甲是分段函數(shù)，所以我們分段考察.當(dāng) 時(shí)， ，解得 ；當(dāng) 時(shí)，解得 .綜上，第一次相遇時(shí)間為第 小時(shí)，第二次相遇時(shí)間為第6小時(shí).

比較上述兩題我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于行程問題，要在冗長(zhǎng)的題干中抓住要點(diǎn)，同向或相向，同時(shí)出發(fā)或一前一后出發(fā)，以及 的不同實(shí)際意義.此外，解決函數(shù)的信息圖像題一般分為兩個(gè)方法.第一種，把關(guān)鍵信息聯(lián)系到函數(shù)圖像上，理解函數(shù)的實(shí)際意義，將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為邏輯簡(jiǎn)單的方程來解決.第二種，利用函數(shù)圖像的直觀性簡(jiǎn)單快捷地解決復(fù)雜的方程問題.讀者要在平時(shí)解題過程中注意總結(jié)方法，找尋規(guī)律.

作者簡(jiǎn)介：高晶晶，女，1993.11，漢族，江蘇揚(yáng)州 揚(yáng)州大學(xué)研究生，研究方向：數(shù)學(xué) 動(dòng)力系統(tǒng)。