闡述高中數(shù)學解題中代換法的靈活應(yīng)用

◎李海峰

引言：學好數(shù)學，就要明白數(shù)學的解題過程，數(shù)學的解題過程就是把那些復雜未知的問題化成我們課本上的，能夠用所學過的知識來解決的問題，從而來求解。那么，怎樣轉(zhuǎn)化它們呢？怎么去尋找它們之間的聯(lián)系？這不僅需要我們平時勤學苦做題，達到對各種數(shù)學問題深刻理解其規(guī)律，還要掌握一定的方法，所以我們平時要注意總結(jié)歸納一些好的數(shù)學思想方法。下面，我們就數(shù)學中常用的代換法法做一些討論，歸納其在方程、函數(shù)、不等式、數(shù)列等問題中的應(yīng)用。

一、代換法求解方程

例：解方程組

解：設(shè)，原方程組化為：

這是一個二元一次方程組，易求得

由u＝10，得10，即.

經(jīng)檢驗原方程組的解是

評析：看到分式方程組首先我們想到化為整式方程組，通過巧妙換元我們把分式方程組化成一個一元二次方程組就很容易求解了

二、運用代換法法研究函數(shù)問題

例：定義在 R上的函數(shù) y＝f（x），當 x＞0時，f（x）＞1，且對任意 a、b∈R有 f（a+b）＝f（a）·f（b），又 f（0）≠0。

（1）求證：f（0）＝1；

（2）求證：對有 x∈R，有 f（x）＞0；

（3）求證：f（x）是 R上增函數(shù)；

（4）求證：解不等式：f（x）·f（2x-x2）＞1證明（1）由得因為所以 f（a+b）＝f（a）·f（b）得 f（0+0）＝f（0）·f（0）。因為 f（0）≠0，所以 f（0）＝1。

（2）當 x≥0時，f（x）≥1＞0；當 x＜0時，因為 -x＞0，所以 f（-x）＞0。由 f［x+（-x）］＝f（x）·f（-x），知 f（x）＝f（0）f（-x）＞0。綜上知：x∈R，有 f（x）＞0。

（3）設(shè) x1＜x2，則 x2-x1＞0，因為 f（x2）＝f（x2-x1+x1）＝f（x2-x1）·f（x1）；又當x2-x1＞0時，f（x2-x1）＞1，且f（x1）＞0。所以f（x2）＝f（x2-x1）·f（x1）＞f（x1），因此 f（x）是 R上增函數(shù)。

（4）由 f（x）·f（2x-x2）＞1，又 f（0）＝1，故 f（x+2x-x2）＞f（0），又f（x）是 R上增函數(shù)，所以3x-x2＞0，所以0＜x＜3。

評析：對于未知函數(shù)，要研究它與坐標軸的關(guān)系、單調(diào)性，我們可以進行常值代換，通-x與x相加等于0，這個特殊值，來進行-x與x之間的變換尋找解題思路。

三、運用代換法求解不等式

例1.若：1≤x2+y2≤2，求證≤x2-xy+≤3

解：由1≤x2+y2≤2，設(shè)x＝rcosθ，y＝rsinθ（1≤r≤0≤ θ≤2π）所以x2-xy+y2＝r2-r2sinθ＝由≤1-

評析：題設(shè)條件表示圓環(huán)，聯(lián)想到圓的參數(shù)方程，進行三角代換，通過三角函數(shù)性質(zhì)解決問題。

例2.已知 a、b、c≥0，求證：

證：由可聯(lián)系到復數(shù)的模。

設(shè)：z1＝a+bi，z2＝b+ci，z3＝c+ai（a、b、c＞0），則左邊 ＝｜z1｜+｜z2｜+｜z3｜≥｜z1+z2+z3｜＝｜a+b+c+i（a+b+c）｜＝（a+b+c）

評析：通過復數(shù)代換，使復雜難懂的式子化成我們學過的復數(shù)模運算，以及三角形三邊關(guān)系。

四、求解各種極值、最值

例1.設(shè) x，y，z＞0，x+y+z＝1，求的最小值。

解：

評析：通過等量代換把x+y+z＝1代入式子，再利用均值不等式求證.

例2.求函數(shù)的最小值。

解：令則代入

得

當 t＝0，即時，f（x）取最小值

評析：引入變量，把無理函數(shù)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的求值問題，化未知為已知。

五、一些求字母取值范圍的求解問題

例：設(shè)ax2-4ax+1＝0方程的兩根為α、β滿足不等式｜logα-logβ｜≤1，試求實數(shù)α的取值范圍。

解：由 α+β＝4，可設(shè)α＝2+p，β＝2-p（0≤p＜2）注意到，此時可用p的表達式表示α，再根據(jù)p的范圍確定α的范圍。

∵ α＝2+p，β＝2-p（0≤p＜2）

∴ ｜logα-logβ｜≤1，有，解得即0≤p

評析：通過設(shè)變量聯(lián)系題設(shè)已知與所求問題.

結(jié)束語：通過代換法我們化未知為已知，化生疏為熟悉，中學階段我們有很大一部分題，可以通過代換法簡化運算來求解。在高等數(shù)學中，我們也經(jīng)常要用代換法來求函數(shù)的極限、積分、求解微分方程，所以要學好數(shù)學，必須學會并熟練運用代換法方法，通過上面涉及的方程、函數(shù)、數(shù)列、不等式等幾個方面的應(yīng)用代換法方法解題，幫助學生更深層次地了解代換法的實質(zhì)，學會運用代換法方法，去聯(lián)系問題與所給條件之間的關(guān)系，運用所學知識解決問題。

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